Matlab 为没有解的系统提供了解决方案

Question

我想求解 3 个变量的线性系统

Ax=b

，其中

A

是 4x3 矩阵，

b

是向量。

A

是矩阵

A=[1 1 1 ; 1 2 1 ; 1 2 3 ; 1 4 1]

而

b=[1 1 1 2]

完整的 4x4 矩阵

A|b

的秩为 4：

> rank([A b'])
ans = 4

所以系统无解。

我用过

linsolve

：

> linsolve(A,b')
ans =

   0.6071
   0.3571
  -0.1071

从数学角度来看这是无稽之谈，因为

Ax=b

无解！

我唯一能想象到的是，该软件为系统提供了一个最小二乘解，即

A'Ax=A'b

的解；事实上你得到了

> linsolve(A'*A,A'*b')
ans =

   0.6071
   0.3571
  -0.1071

但它并没有警告我这一点：它提供了解决方案

linsolve(A,b')

，就好像它是一个实际解决方案，但事实并非如此！

我做错了什么或遗漏了什么吗？

Answer 1

由于

A

的行数多于列数，因此它是一个 超定系统，这意味着方程的数量大于未知数的数量。一般没有解决办法*。

linsolve

输出一个使误差最小化的解，即

(b-A*x)

的范数。这是“MATLAB”能做到的最好的事情。

背后MATLAB使用“最小二乘法”和“欧几里得范数”来解决这个错误。正如您所写，这就是

linsolve(A'*A,A'*b')

所做的。或者等效地，

lsqr(A,b')

将输出相同的答案。

*注意：如果排名与变量数量相同，则此错误将为 0，但这里不是这种情况。例如，

A=[1 1 1 ; 1 2 1 ; 1 2 3 ; 1 1 1]

和

b = [1 1 1 1]

的超定系统具有

[1 0 0].'

的解（由

linsolve(A,b')

、

linsolve(A'*A,A'*b')

和

lsqr(A,b')

输出）。