Python中的泊松统计量是否存在逆概率质量函数？

Question

我正在寻找Poisson统计量的逆pmf。 inverse表示返回分布参数lambda的函数inv_pmf(p, k)。为了清楚起见，参数使用如下：p = lambda ^ k / k！ * exp（-lambda）。谢谢

Answer 1

因此，您有概率方程p（k，λ）=λ^k e ^-λ / k!。您知道p和k，但想知道λ。好吧，从lhs和rhs中获取对数并得到简单的方程式。

log（p）= k * log（λ）-λ-log（k！）

或

λ= k * log（λ）-log（p）-log（G（k + 1）），其中G()是伽马函数，可在Python lib中使用。您可以绘制RHS和LHS之间的差异，并发现它可能有多种解决方案。使用Python fsolve函数，您可以从该非线性方程式中扎根。

代码（Python 3.7，Anaconda，Windows 10 x64）

#%%    
import math
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def logrhs(p, k, λ):
    return k*np.log(λ) - math.log(p) - math.lgamma(k+1)

def poissonPMF(k, λ):
    lp = k*np.log(λ) - λ - math.lgamma(k+1)
    return np.exp(lp)

p = 0.2
k = 3.0

λλ = np.linspace(0.001, 10.0, 101)

#%%    
rhs = logrhs(p, k, λλ)
lhs = np.copy(λλ)

pmf = poissonPMF(k, λλ)

plt.plot(λλ, lhs - rhs, 'r')
plt.plot(λλ, pmf, 'g')
plt.show()

# %%
from scipy.optimize import fsolve

def f(x):
    return x - logrhs(p, k, x)

starting_guess = 4.0
λ = fsolve(f, starting_guess)
print((λ, poissonPMF(k, λ)))

starting_guess = 1.9
λ = fsolve(f, starting_guess)
print((λ, poissonPMF(k, λ)))

例如，我使用k = 3和p = 0.2进行测试。对我来说，它打印出两个根]

(array([3.90263215]), array([0.2]))
(array([2.24859448]), array([0.2]))

并验证确实概率等于0.2。图显示红线在两个地方越过0