多少位小数才能给出准确的结果

Question

假设我有两个小数 a 和 b，每个都有两位小数。我现在想确定一个因子 x，乘以 a，得到 b。这是 x = b / a

有什么方法可以计算 b = a * x 的结果精确到小数点后两位（不四舍五入）所需的最小小数位数吗？

示例：

a = 76,33
b = 44,12 

x1 = 0,5780165072710599 (16 decimal places)
b1 = 76,33 * 0,5780165072710599
b1 = 44,120000000000002167

x2 = 0,578016507271059 (15 decimal places)
b2 = 76,33 * 0,578016507271059
b2 = 44,11999999999993347

x3 = 0,57801650727106 (14 decimal places; rounded)
b3 = 76,33 * 0,57801650727106
b3 = 44,1200000000000098

x4 = 0,5780 (4 decimal places; rounded like GAAP)
b4 = 76,33 * 0,5780
b4 = 44,11874

x5 = 0,5781 (4 decimal places; corrected, not rounded)
b5 = 76,33 * 0,5781
b5 = 44,126373‬ (it's 44,12* now, but far more away from 44,120 than the previous 44,11874)

“公认会计原则 (GAAP)”建议保留四位小数，以抵消舍入误差。然而，就我而言，我发现在求和和乘以大量数字时，这会导致严重的舍入问题。

以 b4 = 44,11874 为例，现在预订该仓位的 1.000.000 倍。您最终得到 44.118.740。如果 b1 = 44,120000000000002167，总和将为 44.120.000。差异已经是 1.260，这已经对货币金额产生了影响。

是否可以计算出安全起见所需的最小小数位数？

Answer 1

您有以下精确的数学方程：

x = b / a

然而，当你四舍五入

x

时，你最终会得到：

x' = x + e

其中

e

是一个错误项。

如果将

x

四舍五入到 k 位小数，则

e

将介于 -1/(2 10^k) 和 +1/(k 10^k) 之间。例如，如果将

x

四舍五入到小数点后 4 位，则

e

将介于 -0.00005 和 +0.00005 之间。

然后，当您尝试使用

b

而不是

x'

重新计算

x

时，您会得到一个值

b'

，其中也有一个错误项：

b' = a x' = a x + a e = b + a e

b'

上的错误项现在是

a e

。

因此，如果您希望

b'

上的误差项最多为 1 / 200，以便

b'

四舍五入到

b

小数点后两位，那么您需要

x'

上的误差项最多为 1 /（200 个）。

在大多数示例中，

a

始终小于 100，因此四舍五入到小数点后 4 位就很好了。

但在最后一个示例中，

a

是 1000000，因此

x

需要 8 位小数。