Coq：如何在lambda中重写？

Question

基本上，我想证明以下引理，但我遇到麻烦，因为我似乎无法直接重写lambdas内部。

但是我觉得这应该是可能的，因为如果我在lambda的“里面”，我可以很容易地证明任何给定的x。

Lemma lemma :
  forall {A B : Type} (f : A -> B) (g : A -> B), 
    (forall (x : A), f x = g x) -> (fun x => f x) = (fun x => g x).

Answer 1

你试图证明的陈述（基本上）是功能性的延伸性，在没有额外公理的情况下，is well-known在Coq中无法证明。基本上，这个想法是f和g可能是故意非常不同的（它们的定义可能看起来不同），但仍然采用相同的值。函数的等价(fun x => f x) = (fun x => g x)（没有任何额外的公理）意味着这两个函数在语法上是相同的。

例如，取f(n) = 0和g(n) = 1 if x^(3 + n) + y^(3 + n) = z^(3 + n) has a non-trivial solution in integers, otherwise 0（从自然数到自然数的两个函数）。然后f和g故意不同 - 一个在语法上没有减少到另一个。然而，多亏了安德鲁·威尔斯，我们知道f和g在所有g(n) = 0的n之后都是一样的。

您可以自由地将您的引理（或各种强化）作为公理添加到Coq而不必担心不一致。