模乘（C 语言）

Question

具体来说：我有两个无符号整数（a，b），我想计算（a * b）％UINT_MAX（UINT_MAX定义为最大无符号整数）。最好的方法是什么？

背景：我需要为Linux编写一个模块来模拟几何序列，从它读取将为我提供下一个元素（模UINT_MAX），我发现的唯一解决方案是将当前元素添加到自身次，而添加是使用以下逻辑完成：（我用于算术序列）

for(int i=0; i<b; ++i){
  if(UINT_MAX - current_value > difference) {
    current_value += difference;
  } else {
    current_value = difference - (UINT_MAX - current_value);
  }

当第一次迭代中 current_value = a 时（并且在每次迭代中更新，并且差值 = a（始终））。 显然这不是一个明智的解决方案。 一个聪明的人如何实现这一目标？

谢谢！

Answer 1

如前所述，如果您有可用宽度两倍的类型，请在此处使用该类型

(unsigned int)(((unsigned long long)a * b) % UINT_MAX)

如果

int

是 32 位且

long long

64（或更多）。如果没有更大的类型，可以将因子拆分为一半的位宽，将各个部分相乘并减少，最后将其组合起来。这里以 32 位无符号为例：

a_low = a & 0xFFFF;  // low 16 bits of a
a_high = a >> 16;    // high 16 bits of a, shifted in low half
b_low = b & 0xFFFF;
b_high = b >> 16;
/*
 * Now a = (a_high * 65536 + a_low), b = (b_high * 65536 + b_low)
 * Thus a*b = (a_high * b_high) * 65536 * 65536
 *          + (a_high * b_low + a_low * b_high) * 65536
 *          + a_low * b_low
 *
 * All products a_i * b_j are at most (65536 - 1) * (65536 - 1) = UINT_MAX - 2 * 65536 + 2
 * The high product reduces to
 * (a_high * b_high) * (UINT_MAX + 1) = (a_high * b_high)
 * The middle products are a bit trickier, but splitting again solves:
 * m1 = a_high * b_low;
 * m1_low = m1 & 0xFFFF;
 * m1_high = m1 >> 16;
 * Then m1 * 65536 = m1_high * (UINT_MAX + 1) + m1_low * 65536 = m1_high + m1_low * 65536
 * Similar for a_low * b_high
 * Finally, add the parts and take care of overflow
 */
m1 = a_high * b_low;
m2 = a_low * b_high;
m1_low = m1 & 0xFFFF;
m1_high = m1 >> 16;
m2_low = m2 & 0xFFFF;
m2_high = m2 >> 16;
result = a_high * b_high;
temp = result + ((m1_low << 16) | m1_high);
if (temp < result)    // overflow
{
    result = temp+1;
}
else
{
    result = temp;
}
if (result == UINT_MAX)
{
    result = 0;
}
// I'm too lazy to type out the rest, you get the gist, I suppose.

当然，如果你需要的实际上是减少模

UINT_MAX + 1

，正如@Toad假设的那样，那么这就是

unsigned int

的乘法所做的。

Answer 2

编辑：正如评论中所指出的......这个答案适用于 Modulo MAX_INT+1 我会把它留在这里，以供将来参考。

比这简单得多：

只需将两个无符号整数相乘，结果也将是一个无符号整数。 所有不适合 unsigned int 的东西基本上都不存在。 所以不需要做模运算：

请参阅此处的示例

 #include <stdio.h>

 void main()
 {
     unsigned int a,b;
     a = 0x90000000;
     b = 2;

     unsigned int c = a*b;

     printf("Answer is %X\r\n", c);
 }

答案是：0x20000000（所以它应该是0x120000000，但答案已被截断，正是您想要的模运算）

Answer 3

您可以在 C99 中执行模乘法：

typedef unsigned long long int ulong;

我正在使用这个功能：

ulong mul_mod(ulong a, ulong b, const ulong mod) {
    ulong res = 0, c; // return (a * b) % mod, avoiding overflow errors while doing modular multiplication.
    for (b %= mod; a; a & 1 ? b >= mod - res ? res -= mod : 0, res += b : 0, a >>= 1, (c = b) >= mod - b ? c -= mod : 0, b += c);
    return res % mod;
}

该函数使用“俄罗斯农民乘法”或“二进制乘法”方法实现模乘法，通过确保每个中间结果使用模运算保持在范围内来避免溢出。