类别中初始对象和终止对象之间的区别

Question

Bartosz Milewski，在第 5 章的终端对象部分强调了以下内容

请注意，在这个例子中，唯一性条件至关重要，因为还有其他集合（实际上，所有集合，除了空集合）都有来自每个集合的传入态射。例如，为每种类型定义了一个布尔值函数（谓词）：

yes :: a -> Bool
yes _ = True

但是

Bool

不是终端对象。每种类型中至少还有一个

Bool

值函数：

no :: a -> Bool
no _ = False

坚持唯一性为我们提供了正确的精度，将终端对象的定义缩小为一种类型。

所有这些都发生在之后部分初始对象，其中没有进行了类似的观察。

因此，我感觉我可能错过了初始对象和最终对象之间的一个关键区别。

根据我的理解，唯一性对于初始对象也至关重要，因为我可以观察到还有其他集合（实际上是所有集合）对每个集合（空集除外）都有传出态射，但一般来说会有不止一个这样的态射（除了

()

的那个）。

所以我的问题是：除了将它们连接到其他对象的箭头方向之外，初始对象和终止对象之间是否有任何区别，Bartosz 可能试图用引用的文本下划线？

我知道像作者的意思是什么？这样的问题可能有点不恰当，因为我们不在他的脑海中，但我想知道范畴论的人至少可以提出一些看似合理的假设。

Answer 1

每个集合都具有传出态射（空集除外）

这是关键部分。要求是每个集合都存在传出态射句号。如果存在一组发生故障的情况，就足以破坏它。这就是为什么

Set

中的初始对象实际上已经被明确定义，甚至不需要唯一性：空集是 唯一一个具有指向空集的传出箭头的集。

同时，每个非空集合都有来自真正每个集合（包括空集合）的传入箭头，但仅对于单元素集合，该箭头是唯一的。

Answer 2

这是书中的直接引用：“初始对象是对类别中的任何对象具有且仅有一个态射的对象。”注意

只有一个部分。

顺便说一句，我也很小心不要说“任何

other对象”，因为从初始对象到自身也有一个独特的态射：它始终是恒等式。