通过代码求解联立方程

Question

这似乎是一个极其简单和愚蠢的问题，但我发现的关于它的一切都太复杂了，我无法理解。

我有这两个非常基本的联立方程：

X = 2x + 2z
Y = z - x

假设我知道 X 和 Y，我该如何找到 x 和 z？手动完成很容易，但我不知道如何在代码中完成。

Answer 1

这似乎是一个非常简单且愚蠢的问题

一点也不。这是一个非常好的问题，但不幸的是它的答案很复杂。来解决吧

a * x + b * y = u
c * x + d * y = v

我在这里坚持使用 2x2 的情况。更复杂的情况将需要您使用库。

首先要注意的是Cramer公式不好用。当你计算行列式时

a * d - b * c

一旦您遇到

a * d ~ b * c

，那么您就会面临 灾难性取消。这种情况比较典型，一定要防范。

简单性/稳定性之间的最佳权衡是部分旋转。假设

|a| > |c|

。那么系统就相当于

a * c/a * x + bc/a * y = uc/a
      c * x +    d * y = v 

这是

cx + bc/a * y = uc/a
cx +       dy = v  

现在，将第一个值减去第二个值

cx +       bc/a * y = uc/a
     (d - bc/a) * y = v - uc/a

现在很容易解决：

y = (v - uc/a) / (d - bc/a)

和

x = (uc/a - bc/a * y) / c

。计算

d - bc/a

比

ad - bc

更稳定，因为我们除以最大的数（这不是很明显，但它成立 - 用非常接近的系数进行计算，你就会明白为什么它有效）。

现在，如果

|c| > |a|

，您只需交换行并进行类似的操作即可。

代码中（请检查Python语法）：

def solve(a, b, c, d, u, v):
    if abs(a) > abs(c):
         f = u * c / a
         g = b * c / a
         y = (v - f) / (d - g)
         return ((f - g * y) / c, y)
    else:
         f = v * a / c
         g = d * a / c
         x = (u - f) / (b - g)
         return (x, (f - g * x) / a)

您可以使用完全旋转（需要交换 x 和 y，以便第一个除法总是按最大系数），但这写起来比较麻烦，并且对于 2x2 的情况几乎不需要。

对于 n x n 的情况，所有旋转的东西都封装在 LU 分解 中，你应该为此使用一个库。

Answer 2

@Alexandre，你错过了一个条件.. 这是最终的代码

void SolveLinearEquations (float a,float b,float c,float d,float u,float v, float &x, float &y)
{
float f;
float g;
if (abs(a) > abs(c))
{
     f = u * c / a;
     g = b * c / a;
     y = (v - f) / (d - g);
     if(c != 0)
        x = (f - g * y) / c;
     else
        x = (u - b * y)/a;
}
else
{
    f = v * a / c;
     g = d * a / c;
     x = (u - f) / (b - g);
     if (a != 0)
        y = (f - g * x) / a ;
     else
        y = (v - d * x)/c;
}
}

Answer 3

(1)  ax + by = c    
(2)  dx + dy = f

(3)1*d     adx + bdy  = cd
(4)2*b     abx + bdy  = fb

(3)-(4)   adx - abx  = cd - fb

          x(ad-ab) = cd - fb


          x = (c*d - f*b)/(a*d-a*b) //use this equation for x



ax + by = c
     by = c - ax

     y = (c - a*x)/b    //use this equation for y

Answer 4

以下功能可能对某些人有用：

function solve(s1,s2){    //only works if coefficients > 0

   str=s1 + " " +s2
   str=str.replace(/[^0123456789.-]/g, ' ') //eliminate letters
   str=str.replace( /\s\s+/g, ' ' )         //no double spaces


   var n=str.split(" ");            //put into an array
   var a=0,b=1,c=2,d=3,e=4,f=5      //see what were doing
   var x = ( n[c]*n[e] -n[b]*n[f])/(n[a]*n[e] - n[b]*n[d])
   var y= (n[c]-n[a]*x)/n[b]

   return({x:x, y:y})
}

使用方法：

result=solve("12x +  2y =32", "9x -5y=55")
alert (result.x+" ----- "+result.y)

Answer 5

求解算法：Ax + By = C, Dx + Ey = F

开始

1)  PRINT "Enter A"
2)  INPUT A
3)  PRINT "Enter B"
4)  INPUT B
5)  PRINT "Enter C"
6)  INPUT C
7)  PRINT "Enter D"
8)  INPUT D
9)  PRINT "Enter E"
10) INPUT E
11) PRINT "Enter F"
21) INPUT F

22) detS <-- AE - BC
22) detX <-- CE - BF
24) detY <-- AF - CD

25) x <-- detX / detS
26) y <-- detY / detS

27) PRINT x, y

结束