在 Sagemath 中积分并绘制分段函数

Question

我正在尝试使用 Sagemath 积分分段函数，但发现这是不可能的。我的原始代码如下，但由于here描述的意外评估而出现错误。

def f(x):
    if(x < 0):
        return 3 * x + 3
    else:
        return -3 * x + 3

g(x) = integrate(f(t), t, 0, x)

网站上提到的绘图修复方法是使用

f

而不是

f(t)

，但这显然不支持

integrate()

函数，因为会引发

TypeError

。

是否有我不知道的修复方法？

Answer 1

不要通过

def

定义分段函数，而是使用内置的 piecewise 类:

f = Piecewise([[(-infinity, 0), 3*x+3],[(0, infinity), -3*x+3]]) 
f.integral()

输出：

Piecewise defined function with 2 parts, [[(-Infinity, 0), x |--> 3/2*x^2 + 3*x], [(0, +Infinity), x |--> -3/2*x^2 + 3*x]]

分段函数有自己的方法，例如

.plot()

。不过，绘图不支持无限间隔。可以获得有限间隔的图

f = Piecewise([[(-5, 0), 3*x+3],[(0, 5), -3*x+3]]) 
g = f.integral()
g.plot()

但是你还想从 g 中减去 g(0)。这不像 g-g(0) 那么简单，但也不算太糟糕：使用

g.list()

获取片段列表，从每个函数中减去 g(0)，然后重新组合。

g0 = Piecewise([(piece[0], piece[1] - g(0)) for piece in g.list()])
g0.plot()

你就有了：

通过扩展这种方法，我们甚至不需要从一开始就在 f 中放置有限的区间。以下通过修改定义域在给定区间 [a,b] 上绘制 g - g(0)：

a = -2
b = 3
g0 = Piecewise([((max(piece[0][0], a), min(piece[0][1], b)), piece[1] - g(0)) for piece in g.list()])
g.plot()

Answer 2

除了使用 Piecewise 类之外，还可以通过将

g(x)

定义为 Python 函数来轻松解决此问题：

def f(x):
    if(x < 0):
        return 3 * x + 3
    else:
        return -3 * x + 3

def g(x):
    (y, e) = integral_numerical(f, 0, x)
    return y

然后

plot(g)

就可以正常工作了。

Answer 3

在较新的 SageMath 版本中，请使用

piecewise

（小写）。

sage: f = piecewise([((-oo, 0), 1), ((0, 1), 2), ((1, oo), 3)], var=x)
sage: f
piecewise(x|-->1 on (-oo, 0), x|-->2 on (0, 1), x|-->3 on (1, +oo); x)
sage: g = integrate(f, x)
sage: g
piecewise(x|-->x on (-oo, 0), x|-->2*x on (0, 1), x|-->3*x - 1 on (1, +oo); x)
sage: plot(g, (x, -2, 2))
Launched png viewer for Graphics object consisting of 1 graphics primitive

除此之外，您还可以使用

sgn

、

abs

和

heaviside

来构建逻辑表达式。

sage: f = heaviside(x)*1 + (1-heaviside(x))*2
sage: f
-heaviside(x) + 2
sage: g = integrate(f, x)
Warning: piecewise indefinite integration does not return a continuous antiderivative
sage: g
-x*heaviside(x) + 2*x
sage: plot(g, (x, -2, 2))
Launched png viewer for Graphics object consisting of 1 graphics primitive

理想情况下，SageMath 可以暴露 Maxima 的

charfun

(https://stackoverflow.com/a/24915794)，但目前还没有。

integrate

无论如何，主要依赖 Maxima。