如何用给定的假设证明排除中间（对于所有 P Q : Prop, (P -> Q) -> (~P \/ Q)）？

Question

我目前对如何证明以下定理感到困惑：

Theorem excluded_middle2 : 
 (forall P Q : Prop, (P -> Q) -> (~P \/ Q)) -> (forall P, P \/ ~P).

我被困在这里了：

Theorem excluded_middle2 : 
  (forall P Q : Prop, (P -> Q) -> (~P \/ Q)) -> (forall P, P \/ ~P).
Proof.
  intros.
  evar (Q : Prop).
  specialize H with (P : Prop) (Q : Prop).

我知道在coq中简单地证明排中律是不可能的，但是我很想知道用这个定理是否可以证明排中律？

Answer 1

是的，可以。一种方法是使用 ssreflect，如下所示（可能还有更短的方法）：

Lemma orC P Q : P \/ Q -> Q \/ P.
Proof. by case; [right | left]. Qed.

Theorem excluded_middle2 : 
 (forall P Q : Prop, (P -> Q) -> (~ P \/ Q)) -> (forall P, P \/ ~ P).
Proof.
move=> orasimply P.
have pp : P -> P by [].
move: (orasimply P P pp).
exact: orC.
Qed.

Answer 2

更短并且不需要 ssreflect （如当前接受的答案）：

Theorem excluded_middle2 : 
  (forall P Q : Prop, (P -> Q) -> (~P \/ Q)) -> (forall P, P \/ ~P).
  intros.
  destruct H with (P := P) (Q := P); auto.
Qed.