关于 (1) / ( b ^ c ) 形式的函数的数学问题

Question

我发现遵循 1 / b^c 模式的函数会产生漂亮的曲线，可以很好地与插值函数耦合。

我使用该函数的方式是将“c”视为变化值，即 0 和 1 之间的插值值，同时改变“锐度”的 b。我用它来计算 0 到 1 之间的插值，所以一般我使用的函数是这样的：

float interpolationvalue = 1 - 1/pow(100,c);
linearinterpolate( val1, val2, interpolationvalue);

到目前为止，我一直在使用一种黑客方法来使其“工作”，因为当插值值 = 1 时，该值非常接近但不完全是 0。

所以我想知道，是否有一个 或 one 形式的函数可以重现与 1 / b^c 产生的曲线相似的曲线，其中 c = 0 结果 = 1 且 c = 1 结果 = 0。

或者甚至 C = 0，结果 = 0 且 C = 1 结果 = 1。

感谢您的帮助！

Answer 1

对于插值，提供最大灵活性的方法是使用样条线，在您的情况下，二次样条线似乎就足够了。维基百科页面包含大量数学内容，但您可以在谷歌上找到改编的描述。

Answer 2

1 - c ^ b

的

b

值较小？另一种选择是使用三次多项式并指定 0 和 1 处的斜率。

Answer 3

您可以使用

A - 1 / b^(c + a)

形式的类似曲线，选择

A

和

a

的值来匹配您的约束。所以，对于

c = 0, result = 1

：

1 = A - 1/b^a   =>   A = 1 + 1/b^a

对于

c = 1, result = 0

：

0 = A - 1/b^(1+a)  =>  A = 1/b^(1+a)

结合这些，我们可以用

a

来求

b

：

1 + 1/b^a = 1/b^(1+a)
b^(1+a) + b = 1
b * (b^a - 1) = 1
b^a = 1/b - 1

所以：

a = log_b(1/b - 1) = log(1/b - 1) / log(b)
A = 1 + 1/b^a = 1 / (1-b)

Answer 4

在数学家使用的实数中，您指定的形式的函数不会返回 0，除法不能做到这一点。 (1/x)==0 没有实数解。 在浮点算术中，计算机使用的实际算术关系很差，您可以编写 1/(MAX_FP_VALUE^1) ，这将为您提供尽可能接近 0 的值（实际上，它可能会给您一个 NaN 或IEEE 754 允许的其他奇数回报之一）。

而且，我相信您已经注意到，1/(b^0) 始终返回 1，因为根据 0 次方的定义，b^0 始终为 1。

因此，c = 0 的函数不会产生 0 的结果。

对于 c = 1，结果 = 1，设置 b = 1

但我想这只是部分答案，我不太确定我理解你想要做什么。