我有一个非常低效的方法来计算大小为N的数组中的N/2项的组合。我所做的是对数组进行排序，然后循环遍历数组的排列，创建具有一半元素的多重集并插入成套。最后我得到了集合的计数。
long GetCombinations(std::vector<double> nums) {
long combinations = 0;
std::sort(nums.begin(), nums.end());
std::set<std::multiset<double>> super_set;
do {
std::multiset<double> multi_set;
for (unsigned int i = 0; i < nums.size() / 2; ++i)
multi_set.insert(nums[i]);
auto el = (super_set.insert(multi_set));
if (el.second)
++combinations;
} while (std::next_permutation(nums.begin(), nums.end()));
return combinations;
}
代码有效，但效率很低。对于给定的数组[0.5, 0.5, 1, 1]，有3种大小为2的组合：
0.5, 0.5 1, 1 1, 0.5
是否有不同的算法或方法可以提高此代码的速度？
一般而言，确定特定集合的组合数量非常简单。但是，将其扩展到多个集合，其中每个元素重复特定次数要困难得多，并且没有详细记录。 @WorldSEnder链接到一个math / stackexchange答案，该答案有一个comment，链接到组合词中由Frank Ruskey命名为Combinatorial Generation的精彩文章。如果您转到第71页，则会有一个部分更严格地处理此主题。
{a, b}与{a, a, b}相同，两者都有基数2{a, b}和{a, a, b}分别是基数为2和3的不同多重集合有一种观点认为，有一个简单的公式可以快速计算长度为k的多个集合的组合数，其中每个元素重复特定次数（参见上面的高度评价）。下面，我们将研究每种众所周知的方法。
让我们从二项式系数的一般应用开始。我们立即看到这将失败，因为它严格意味着计算一组的组合数，其中不允许重复的条目。在我们的例子中，允许重复。
在维基百科页面上进一步阅读，有一个名为Number of combinations with repetition的部分。这看起来很有希望，因为我们有一些复制。我们还看到了修改后的二项式系数，这似乎更有希望。仔细观察会发现这也会失败，因为这严格适用于多个集合，其中每个元素重复多达k次。
最后，我们尝试了multiset coefficient。列出的一个示例看起来与我们要完成的内容非常相似。
“首先，考虑代表{a，a，a，a，a，a，b，b，c，c，c，d，d，d，d，d，d，d}的多重集合的符号（6 as，2 bs，3 cs，7 ds）以这种形式：“
这似乎是我们试图推导出来的一个很好的候选者。但是，您将看到他们继续推导出可以从一组4个不同元素构造多基数18的方法。这相当于长度为4的18的integer compositions的数量。
18 + 0 + 0 + 0
17 + 1 + 0 + 0
16 + 2 + 0 + 0
.
.
.
5 + 4 + 6 + 3
4 + 5 + 6 + 3
3 + 6 + 6 + 3
.
.
.
0 + 1 + 0 + 17
0 + 0 + 1 + 17
0 + 0 + 0 + 18
如您所见，订购事项的成分显然不适用于我们的情况。
提到的最后两种方法来自着名的Stars and Bars方法，用于简单的计数问题。据我所知，这种方法不能轻易扩展到我们的案例。
unsigned long int getCombinationCount(std::vector<double> nums) {
unsigned long int n = nums.size();
unsigned long int n2 = n / 2;
unsigned long int numUnique = 1;
unsigned long int numCombinations;
std::sort(nums.begin(), nums.end());
std::vector<int> numReps;
double testVal = nums[0];
numReps.push_back(1);
for (std::size_t i = 1; i < n; ++i) {
if (nums[i] != testVal) {
numReps.push_back(1);
testVal = nums[i];
++numUnique;
} else {
++numReps[numUnique - 1];
}
}
int myMax, r = n2 + 1;
std::vector<double> triangleVec(r);
std::vector<double> temp(r);
double tempSum;
myMax = r;
if (myMax > numReps[0] + 1)
myMax = numReps[0] + 1;
for (int i = 0; i < myMax; ++i)
triangleVec[i] = 1;
temp = triangleVec;
for (std::size_t k = 1; k < numUnique; ++k) {
for (int i = n2; i > 0; --i) {
myMax = i - numReps[k];
if (myMax < 0)
myMax = 0;
tempSum = 0;
for (int j = myMax; j <= i; ++j)
tempSum += triangleVec[j];
temp[i] = tempSum;
}
triangleVec = temp;
}
numCombinations = (unsigned long int) triangleVec[n2];
return numCombinations;
}
传统Pascal's Triangle中的条目（此处为PT）表示二项式系数，其中三角形的行是集合中元素的数量，列是您希望生成的组合的长度。三角形的构建是我们如何解决手头问题的关键。
如果你注意到对于传统的PT，要获得一个特定的条目，比如说（i，j）其中i是行而j是列，你必须添加条目（i - 1，j - 1）和（i - 1，j）。这是一个例子。
1
1 1
1 2 1 N.B. The first 10 is in the 5th row and 3rd column
1 3 3 1 and is obtained by adding the entries from the
1 4 6 4 1 4th row and 2nd/3rd.
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
我们可以将它扩展为一般的多重集，其中每个元素重复特定次数。让我们考虑几个例子。
例1：v1 = {1, 2, 2}，v2 = {1, 2, 2, 3, 3, 3}和v3 = {1,2,2,3,3,3,4,4,4,4}
下面我们有v1 choose 1 - 3以及v2 choose 1 - 6的所有可能组合。
[,1] [,1]
[1,] 1 [1,] 1
[2,] 2 [2,] 2
[3,] 3
[,1] [,2] [,1] [,2]
[1,] 1 2 [1,] 1 2
[2,] 2 2 [2,] 1 3
[3,] 2 2
[4,] 2 3
[5,] 3 3
[,1] [,2] [,3] [,1] [,2] [,3]
[1,] 1 2 2 [1,] 1 2 2
[2,] 1 2 3
[3,] 1 3 3
[4,] 2 2 3
[5,] 2 3 3
[6,] 3 3 3
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1 2 2 3
[2,] 1 2 3 3
[3,] 1 3 3 3
[4,] 2 2 3 3
[5,] 2 3 3 3
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,] 1 2 2 3 3
[2,] 1 2 3 3 3
[3,] 2 2 3 3 3
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
[1,] 1 2 2 3 3 3
让我们写下v1和v2的所有k的组合数。
2 2 1
3 5 6 5 3 1
我将给你所有k个v3的组合数量（我将留给读者列举它们）。
4 9 15 20 22 20 15 9 4 1
我们以特殊的方式结合上述结果，并注意事情开始变得非常熟悉。
2 2 1
3 5 6 5 3 1
4 9 15 20 22 20 15 9 4 1
我们添加了几个作为占位符来完成此修改后的PT
1 1
1 2 2 1
1 3 5 6 5 3 1
1 4 9 15 20 22 20 15 9 4 1
这是什么意思？很明显，每个连续行中的数字是前一行中数字的组合。但是如何？....
我们让每个元素的频率指导我们。
例如，为了获得表示v2 choose 1 - 6组合数量的第三行（忽略前1），我们查看第2行。由于第3个元素的频率为3，我们添加4个元素（3 + 1 ..只是与二项式系数一样，用于查找具有不同元素的集合的组合的数量，我们在上面的行中添加2个条目或1 + 1），其中列小于或等于我们找到的列。所以我们有：
if the column index is non-positive or greater than the
number of columns in the previous row, the value is 0
v2 choose 3
(3, 2) = (2, 2 - 3) + (2, 2 - 2) + (2, 2 - 1) + (2, 2 - 0)
= 0 + 0 + 1 + 2
= 3
v2 choose 4
(3, 3) = (2, 3 - 3) + (2, 3 - 2) + (2, 3 - 1) + (2, 3 - 0)
= 0 + 1 + 2 + 2
= 5
v2 choose 5
(3, 4) = (2, 4 - 3) + (2, 4 - 2) + (2, 4 - 1) + (2, 4 - 0)
= 1 + 2 + 2 + 1
= 6
v2 choose 6 outside of range
(3, 5) = (2, 5 - 3) + (2, 5 - 2) + (2, 5 - 1) + (2, 5 - 0)
= 2 + 2 + 1 + 0
= 5
etc.
继续这个逻辑，让我们看看我们是否可以获得v3的k组合数。由于第4个元素的频率为4，我们需要一起添加5个条目。
v3 choose 3
(4, 2) = (3, 2 - 4) + (3, 2 - 3) + (3, 2 - 2) + (3, 2 - 1) + (3, 2 - 0)
= 0 + 0 + 0 + 1 + 3
= 4
v3 choose 4
(4, 3) = (3, 3 - 4) + (3, 3 - 3) + (3, 3 - 2) + (3, 3 - 1) + (3, 3 - 0)
= 0 + 0 + 1 + 3 + 5
= 9
v3 choose 5
(4, 4) = (3, 4 - 4) + (3, 4 - 3) + (3, 4 - 2) + (3, 4 - 1) + (3, 4 - 0)
= 0 + 1 + 3 + 5 + 6
= 15
v3 choose 6
(4, 5) = (3, 5 - 4) + (3, 5 - 3) + (3, 5 - 2) + (3, 5 - 1) + (3, 5 - 0)
= 1 + 3 + 5 + 6 + 5
= 20
etc.
事实上，我们确实得到了正确数量的v3的k组合。
例2：z1 = {1,1,1,2}，z2 = {1,1,1,1,2,3,3,3,3,3}和z3 = {1,1,1,1,2,3,3,3,3,3,4,4}
您会注意到我们正在构造这些向量，使得每个连续向量包含先前的向量。我们这样做是为了能够正确构建我们修改过的PT。这类似于传统的PT，其中每个连续的行，我们只是在前一行添加一个数字。这些载体的修改后的PT是：
1 1 1 1
1 2 2 2 1
1 3 5 7 8 8 7 5 3 1
1 4 9 15 20 23 23 20 15 9 4 1
让我们构建z2 choose 6和z3 choose 9，看看我们是否正确：
z2 choose 6
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
[1,] 1 1 1 2 3 3
[2,] 1 1 1 3 3 3 This shows that we produce 7 combs
[3,] 1 1 2 3 3 3 just as predicted by our modified
[4,] 1 1 3 3 3 3 PT (i.e. entry (3, 6 + 1) = 7)
[5,] 1 2 3 3 3 3
[6,] 1 3 3 3 3 3
[7,] 2 3 3 3 3 3
z3 choose 9
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9]
[1,] 1 1 1 2 3 3 3 3 3
[2,] 1 1 1 2 3 3 3 3 4
[3,] 1 1 1 2 3 3 3 4 4 This shows that we produce 9
[4,] 1 1 1 3 3 3 3 3 4 combs just as predicted by
[5,] 1 1 1 3 3 3 3 4 4 our modified PT (i.e. entry
[6,] 1 1 2 3 3 3 3 3 4 (4, 9 + 1) = 9)
[7,] 1 1 2 3 3 3 3 4 4
[8,] 1 1 3 3 3 3 3 4 4
[9,] 1 2 3 3 3 3 3 4 4
正如快速说明的那样，第一行持有的那一行类似于传统PT的第二行（即1 1）。松散地说（参见边缘情况的代码），如果第一个元素具有频率m，则修改的PT的第一行将包含m + 1个。
从上面的两个例子可以看出，修改后的PT基于特定的多重集合，因此不能一概而论。即使您考虑由相同的不同元素组成的某些基数的多重集合，修改后的PT也会有所不同。例如，multiset a = {1, 2, 2, 3, 3, 3}和b = {1, 1, 2, 2, 3, 3}分别生成以下修改后的PT：
1 1
1 2 2 1
1 3 5 6 5 3 1
1 1 1
1 2 3 2 1
1 3 6 7 6 3 1
请注意a choose 2 = 5而b choose 2 = 6。
这是ideone的链接，展示了新算法的加速。对于矢量{4, 2, 6, 4, 9, 8, 2, 4, 1, 1, 6, 9}，原始的时间是2285718时钟滴答，而上面的算法在8时钟滴答完成加速2285728 / 8 = 285714.75 ...超过十万倍的速度。它们也返回相同数量的组合（即122）。大多数速度增益来自于避免明确生成任何组合（或OP的代码所做的排列）。