`F a = (a -> p) -> q` 是一个应用函子吗？

Question

F a = (a -> p) -> q

形式的类型构造函数在

a

中是协变的（其中我们假设

p

和

q

是固定类型，只有

a

变化）。所以，

F

是一个函子。

假设

F

和

p

是不同的、不相关的固定类型，

q

是一个应用函子吗？

我的猜测是

F

不适用（无法实现合法方法

zip

或

ap

），但我没有证据。我也无法为遵守法律的

Applicative

实现

F

的方法。不守法实施的一个例子是：

 zip :: F a -> F b -> F (a, b)
 zip _ _ _ = q0

其中

q0

是

q

类型的固定值。

zip

的这种实现忽略了它的所有参数，这会丢失信息并且不可能遵守

zip

的恒等法则。

能否证明

F

是适用的，或者无法对

zip

实施合法方法

ap

或

F

？

如果需要，我们可以假设

p

和

q

是幺半群类型（不过我认为这不会有帮助）。

作为比较，如果

p

和

q

是同一类型，我们得到

F a = (a -> p) -> p

，它是一个延续 monad，也是适用的。问题是关于类型

p

和

q

不同且不相关、未知的固定类型时的情况。

Answer 1

如果允许我假设

q

是幺半群，那么

type F p q a = Const q (a -> p)

给你一个应用实例。详细：

newtype F p q a = F q
instance Functor (F p q) where fmap (F q) = F q
instance Monoid q => Applicative (F p q) where
    pure _ = F mempty
    F x <*> F y = F (x <> y)