C++ 中算术运算和转换的机器值

Question

我是 C++ 编程新手。我想知道 C++ 中以下简单操作的结果会获得什么可能的机器值：

int a = 3;
double inv_a;

inv_a =  (double) 1 / (double) a;
std::cout << "a*(1/a) = " << std::setprecision(30) << (double) a * inv_a << std::endl;

例如，我想知道

的输出是否

(double) a * inv_a

对于 a 的任何可能的 int 值，

作为双精度值始终大于或等于 1.000...0。是否有可能获得严格小于 1 但非常接近它的值，例如 0.999...？当我将结果转换为 int 时，我正在考虑这个问题。预先感谢您。

我的实验总是给我准确的1。

Answer 1

例如，我想知道

(double) a * inv_a

的输出是否始终大于或等于 1.000...0 作为 double

该关系不成立，因为使用 IEEE-754 二进制 64（“双精度”）算术，

1./49*49

产生 0.99999999999999988897769753748434595763683319091796875。

当倒数进入低于正常范围时，结果可能大于 1。例如，对于

a

= 2¹⁰²³+2⁹⁷¹，

1/a*a

为 1+2⁻⁵²。这是因为次正常结果降低了精度，从而导致更大的误差。在正常范围内，不会出现这种情况。

当所有涉及的值（包括倒数）都在正常范围内时，则成立反比关系；

a * inv_a

始终小于或等于 1，有时更小。

在这个答案中，代码字体中的表达式表示浮点计算。非代码字体的表达式表示普通实数算术。

这里有一个证明，只要我们保持在正常范围内并使用以二为基数的¹浮点格式并四舍五入到最接近的值，结果就不可能大于1。考虑一些x。令 p 为 2 的幂，使得 xp 位于 [1, 2) 中。只要我们在正常范围内，

1/x*x

=

1/(xp)*xp

，其中

xp

=

x*p

，由于浮点表示的性质。因此，仅当 [1, 2) 中存在这样的 x 时，才存在 <

x

使得 11/x*x。

由于使用了舍入到最接近的方法并且 ½ < 1/x ≤ 1，对于某些 𝜀 满足 −½

u

≤ 𝜀 ≤ +½u，1/x = 1/x + 𝜀，其中 u是 [½, 1) 中浮点数的最小精度单位。那么

1/x

•x = (1/x + 𝜀)x = 1 + 𝜀x。因为 x < 2, −½u ≤ 𝜀 ≤ +½u 意味着 −u < 𝜀x < +u。因此，

1/x

•x 位于 1 的 u 范围内。观察到，[½, 1) 中数字的 ULP u 是 [1, 2) 中数字 ULP 的一半。因此，

1/x

•x 比 [1, 2) 中下一个更大的数字更接近 1。因此，在计算

1/x*x

时，舍入到最接近的值不会产生大于 1 的结果。

为了完整起见，请注意，如果

a

为零、NaN 或无穷大，则

1/a*a

将生成 NaN，因此结果不会小于、等于或大于 1。并且，如果

a

是次正规的，

1/a

可以产生无穷大，因此

1/a*a

将是无穷大并且比较结果大于 1。

注意

¹ 我希望这也适用于其他基地，但手头没有证据。