符号会影响浮点数的精度和准确度吗？

Question

在浮点运算中，如果两个数字具有相同的二进制表示形式，则对这些数字执行的任何操作的结果都应该相同，并且使用

==

进行相等比较应该按预期工作。

例如，如果 a 和 b 计算为

1.0/3.0

，它们在标准浮点系统中确实具有相同的二进制表示形式。因此，如下计算的

x

和

y

应该是相同的，并且该断言成立。

double a = 1.0/3.0;
double b = 1.0/3.0;
double x = a*a/Math::Pi;
double y = b*b/Math::Pi;
assert(x==y);

我的问题是，数字的符号会影响结果的准确性吗？以下内容永远正确吗？

double a = 1.0/3.0;
double b = -1.0/3.0;
double x = a*a/Math::Pi;
double y = -(-b*b/Math::Pi);
assert(x==y);

这个怎么样？这个说法成立吗？

double a = 1.0/3.0;
double b = 1.0/7.0;
double x = a-b;
double y = -(b-a);
assert(x==y);

我主要在 x86/x64 机器上工作。我认为 C/C++/ASM 应该有相同的行为，所以我标记了 C 和 C++。

Answer 1

TLDR： 理论上，符号会影响结果，但实际上不会。

浮点数的标准是IEEE-754。它指定符号以单独的位进行编码。这意味着，与使用 Two 的补码 的整数不同，范围在零周围完全对称。尾数和指数均不受符号影响。 因此符号不影响精度。

但是，IEEE-754 允许使用不同的舍入模式来处理尾数中的最低位。如果将舍入模式更改为正无穷大或负无穷大，这将影响结果。但从来没有人这样做过。并非每个硬件实现都支持这一点，例如 GPU 通常不支持。

严格来说，大多数语言的浮点类型不需要 IEEE-754。但是，您将很难找到不符合标准的广泛使用的系统。另请参阅为什么不使用基于二进制补码的浮点？

范围对称的期望也体现在很多代码中，包括标准库。例如，C++11 之前的 C++ 将

std::numeric_limits<float>::max()

表示最大的有限正值，将

std::numeric_limits<float>::min()

表示最小的非零、归一化的 positive 值。如果你想要最负的有限值，你必须否定

max()

。这仅在 C++11 中通过

std::numeric_limits<float>::lowest()

发生了变化，但对于 C 本身没有改变，它使用类似的

float.h

宏。