绘制极地玫瑰——如何使用“n”和“d”来实现不同的形状？

Question

以代码形式，笛卡尔系中极玫瑰点坐标的计算可以表示为：

X := OriginX + A * Cos(K * Theta) * Cos(Theta);
Y := OriginY + A * Cos(K * Theta) * Sin(Theta);

参数	意义
OriginX	玫瑰中心点的 X 坐标
OriginY	玫瑰中心点的 Y 坐标
A	目标玫瑰半径
K	角频率

上面的代码可以完美运行。例如，将

K

设置为

5

，我会得到一朵有五个花瓣的花。对于

K

的其他正整数值，我也得到了正确的花，与维基百科上给出的第一行一致：

图片来源：Jason Davies，来自 Wikimedia Commons。

现在我希望我的代码能够从其他行生成玫瑰。我找到了文章极地玫瑰园，里面有一张有各种玫瑰的图片，其中

k

是整数或实数：

https://blog.k2h.se/post/2020-01-03-polar-rose-garden_files/figure-html/unnamed-chunk-2-1.png

例如，对于

k = 1 / 3

，玫瑰应该是这样的：

另外https://blog.k2h.se/post/2020-01-03-polar-rose-garden_files/figure-html/unnamed-chunk-2-1.png查找标题

1/3

。

但是如果我使用以下代码：

var
  Theta:   Single;
  OriginX: Integer;
  OriginY: Integer;
  Size:    Integer;
  X:       Integer;
  Y:       Integer;
  K:       Single;
begin
  OriginX := 120;
  OriginY := 120;
  Size    := 120;
  K       := 1 / 3;
  Theta   := 0.0;

  while Theta < Pi * 2 do
  begin
    X := Round(OriginX + Size * Cos(K * Theta) * Cos(Theta));
    Y := Round(OriginY + Size * Cos(K * Theta) * Sin(Theta));

    Canvas.Pixels[X, Y] := clGray;

    Theta += 0.001;
  end;
end;

玫瑰看起来像这样：

有人可以告诉我为什么我的图表损坏了吗？

PS：我不是数学家，所以 C/Pascal 代码就完美了。

Answer 1

我们转向 https://en.wikipedia.org/wiki/Rose_(mathematics)#Roses_with_rational_number_values_for_k 并了解到：

当n和d均为奇数时，正弦曲线的正半周期和负半周期是重合的。这些玫瑰花的图形在任意连续的极角区间（dπ长）中完成。

当 n 为偶数且 d 为奇数时，反之亦然，玫瑰将完全绘制在连续的极角区间2dπ长

中

因此应该进行快速模检查：

<script type="module" src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/graphics-element/1.11.1/graphics-element.js" integrity="sha512-fz6xdkeMImCEkyHV+HPpg7C9cxoqc0w9RdSzm9ufj2wjFQFz71iJvyazoM9tXRGBzN40GuNY2e5fmimRiBFoJw==" crossorigin="anonymous" referrerpolicy="no-referrer"></script>
<link rel="stylesheet" href="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/graphics-element/1.11.1/graphics-element.css" integrity="sha512-sD4sJLVEBRXXbNNaSs/vwyt6vgq+jIiAhpg1MtqNdmhOt3k6K7V4wH5p5IxNvRXAoP51rAHyig0f4egsM+WdCQ==" crossorigin="anonymous" referrerpolicy="no-referrer" />
<graphics-element id="graphics" width="200px" height="160px" title="let's draw some roses">
  <graphics-source>
    const r = 70;
    let k = 1;

    function setup() {
      addSlider(`n`, {min:1, max:7, step:1, value:1 });
      addSlider(`d`, {min:1, max:9, step:1, value:3 });
    }
    
    function draw() {
      k = n / d;
      clear();
      noFill();
      translate(width/2, height/2);
      start();
      const oddN = (n % 2) === 1;
      const oddD = (d % 2) === 1;
      const limit = d * ((oddN && oddD) ? PI : TAU);
      for (let theta = 0, f, x, y; theta <= limit; theta += 0.001) {
        f = r * cos(k * theta);
        x = f * cos(theta);
        y = f * sin(theta);
        vertex(x, y);
     }
     end();
    }
  </graphics-source>
</graphics-element>