快速bignum平方计算

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为了加速我的bignum分区，我需要加速操作qazxsw poi for bigints，它们表示为无符号DWORD的动态数组。要明确：

y = x^2
  • 其中n + 1是使用的DWORD的数量
  • 所以数字DWORD x[n+1] = { LSW, ......, MSW }; 的价值

问题是：如何在没有精度损失的情况下尽快计算x = x[0]+x[1]<<32 + ... x[N]<<32*(n)？ - 使用C ++和整数算术（32位带Carry）处理。

我目前的方法是应用乘法y = x^2并避免多次乘法。

例如：

y = x*x

为简单起见，让我重写一下：

x = x[0] + x[1]<<32 + ... x[n]<<32*(n)

其中index表示数组内的地址，因此：

x = x0+ x1 + x2 + ... + xn

仔细观察后，很明显几乎所有的y = x*x y = (x0 + x1 + x2 + ...xn)*(x0 + x1 + x2 + ...xn) y = x0*(x0 + x1 + x2 + ...xn) + x1*(x0 + x1 + x2 + ...xn) + x2*(x0 + x1 + x2 + ...xn) + ...xn*(x0 + x1 + x2 + ...xn) y0 = x0*x0 y1 = x1*x0 + x0*x1 y2 = x2*x0 + x1*x1 + x0*x2 y3 = x3*x0 + x2*x1 + x1*x2 ... y(2n-3) = xn(n-2)*x(n ) + x(n-1)*x(n-1) + x(n )*x(n-2) y(2n-2) = xn(n-1)*x(n ) + x(n )*x(n-1) y(2n-1) = xn(n )*x(n ) 都出现了两次（不是第一次和最后一次），这意味着xi*xj乘法可以被N*N乘法所取代。附： (N+1)*(N/2)因此每个32bit*32bit = 64bit操作的结果被处理为mul+add。

有没有更好的方法来快速计算？我在搜索过程中找到的只是sqrts算法，而不是sqr ...

快速的sqr

！请注意我的代码中的所有数字首先是MSW，...不像上面的测试那样（LSW首先是为了简化方程，否则它将是一个索引混乱）。

当前功能fsqr实现

64+1 bit

使用Karatsuba乘法

（感谢Calpis）

我实现了Karatsuba乘法，但结果比使用简单的void arbnum::sqr(const arbnum &x) { // O((N+1)*N/2) arbnum c; DWORD h, l; int N, nx, nc, i, i0, i1, k; c._alloc(x.siz + x.siz + 1); nx = x.siz - 1; nc = c.siz - 1; N = nx + nx; for (i=0; i<=nc; i++) c.dat[i]=0; for (i=1; i<N; i++) for (i0=0; (i0<=nx) && (i0<=i); i0++) { i1 = i - i0; if (i0 >= i1) break; if (i1 > nx) continue; h = x.dat[nx-i0]; if (!h) continue; l = x.dat[nx-i1]; if (!l) continue; alu.mul(h, l, h, l); k = nc - i; if (k >= 0) alu.add(c.dat[k], c.dat[k], l); k--; if (k>=0) alu.adc(c.dat[k], c.dat[k],h); k--; for (; (alu.cy) && (k>=0); k--) alu.inc(c.dat[k]); } c.shl(1); for (i = 0; i <= N; i += 2) { i0 = i>>1; h = x.dat[nx-i0]; if (!h) continue; alu.mul(h, l, h, h); k = nc - i; if (k >= 0) alu.add(c.dat[k], c.dat[k],l); k--; if (k>=0) alu.adc(c.dat[k], c.dat[k], h); k--; for (; (alu.cy) && (k >= 0); k--) alu.inc(c.dat[k]); } c.bits = c.siz<<5; c.exp = x.exp + x.exp + ((c.siz - x.siz - x.siz)<<5) + 1; c.sig = sig; *this = c; } 乘法大得多，可能是因为我看不到任何可以避免的可怕递归。它的权衡必须是非常大的数字（大于数百位数）......但即使这样，也会有大量的内存传输。有没有办法避免递归调用（非递归变量，...几乎所有的递归算法都可以这样做）。不过，我会尝试调整一下，看看会发生什么（避免规范化等等，也可能是代码中的一些愚蠢的错误）。无论如何，在解决Karatsuba案件O(N^2)之后，没有太多的性能提升。

优化的Karatsuba乘法

x*x的性能测试：

y = x^2 looped 1000x times, 0.9 < x < 1 ~ 32*98 bits

在对Karatsuba进行优化之后，代码比以前快得多。不过，对于较小的数字，它略低于我的x = 0.98765588997654321000000009876... | 98*32 bits sqr [ 213.989 ms ] ... O((N+1)*N/2) fast sqr mul1[ 363.472 ms ] ... O(N^2) classic multiplication mul2[ 349.384 ms ] ... O(3*(N^log2(3))) optimized Karatsuba multiplication mul3[ 9345.127 ms] ... O(3*(N^log2(3))) unoptimized Karatsuba multiplication x = 0.98765588997654321000... | 195*32 bits sqr [ 883.01 ms ] mul1[ 1427.02 ms ] mul2[ 1089.84 ms ] x = 0.98765588997654321000... | 389*32 bits sqr [ 3189.19 ms ] mul1[ 5553.23 ms ] mul2[ 3159.07 ms ] 乘法的一半速度。对于更大的数字，它与布斯乘法的复杂性给出的比率更快。乘法的阈值大约是32 * 98位，而sqr大约是32 * 389位，所以如果输入位的总和超过这个阈值，那么Karatsuba乘法将用于加速乘法，对于sqr也是如此。

BTW，优化包括：

  • 通过太大的递归参数最小化堆垃圾
  • 避免使用带有进位的任何bignum aritmetics（+， - ）32位ALU。
  • 无视O(N^2)或0*y或x*0案件
  • 将输入0*0数字大小重新格式化为2的幂，以避免重新分配
  • 实现x,y的模乘，以最小化递归

修改后的SchönhageStreet乘法到sqr实现

我已经测试过使用FFT和NTT变换来加速sqr计算。结果如下：

  1. FFT 失去准确性，因此需要高精度的复数。这实际上减慢了速度，因此不存在加速。结果不准确（可能是错误的舍入）因此FFT无法使用（暂时）
  2. NTT NTT是有限域DFT，因此不会发生精度损失。它需要无符号整数上的模块化算术：z1 = (x0 + x1)*(y0 + y1)和modpow, modmul, modadd。 我使用modsub（32位无符号整数）。由于溢出问题，NTT输入/输出矢量大小有限！对于32位模块化算术，DWORD仅限于N所以(2^32)/(max(input[])^2)必须分成更小的块（我使用bigint所以处理的BYTES的最大尺寸是 bigint (2^32)/((2^8)^2) = 2^16 bytes = 2^14 DWORDs = 16384 DWORDs) 仅使用sqr而不是1xNTT + 1xINTT进行乘法，但是NTT的使用太慢而且阈值数量太大而无法在我的实现中实际使用（对于2xNTT + 1xINTT和mul）。 有可能甚至超过溢出限制，因此应该使用64位模块化算法，这可以减慢更多的速度。所以NTT对我来说也是无法使用的。

一些测量：

sqr

我的实施：

a = 0.98765588997654321000 | 389*32 bits
looped 1x times
sqr1[ 3.177 ms ] fast sqr
sqr2[ 720.419 ms ] NTT sqr
mul1[ 5.588 ms ] simpe mul
mul2[ 3.172 ms ] karatsuba mul
mul3[ 1053.382 ms ] NTT mul

结论

对于较小的数字，它是我的快速void arbnum::sqr_NTT(const arbnum &x) { // O(N*log(N)*(log(log(N)))) - 1x NTT // Schönhage-Strassen sqr // To prevent NTT overflow: n <= 48K * 8 bit -> result siz <= 12K * 32 bit -> x.siz + y.siz <= 12K!!! int i, j, k, n; int s = x.sig*x.sig, exp0 = x.exp + x.exp - ((x.siz+x.siz)<<5) + 2; i = x.siz; for (n = 1; n < i; n<<=1) ; if (n + n > 0x3000) { _error(_arbnum_error_TooBigNumber); zero(); return; } n <<= 3; DWORD *xx, *yy, q, qq; xx = new DWORD[n+n]; #ifdef _mmap_h if (xx) mmap_new(xx, (n+n) << 2); #endif if (xx==NULL) { _error(_arbnum_error_NotEnoughMemory); zero(); return; } yy = xx + n; // Zero padding (and split DWORDs to BYTEs) for (i--, k=0; i >= 0; i--) { q = x.dat[i]; xx[k] = q&0xFF; k++; q>>=8; xx[k] = q&0xFF; k++; q>>=8; xx[k] = q&0xFF; k++; q>>=8; xx[k] = q&0xFF; k++; } for (;k<n;k++) xx[k] = 0; //NTT fourier_NTT ntt; ntt.NTT(yy,xx,n); // init NTT for n // Convolution for (i=0; i<n; i++) yy[i] = modmul(yy[i], yy[i], ntt.p); //INTT ntt.INTT(xx, yy); //suma q=0; for (i = 0, j = 0; i<n; i++) { qq = xx[i]; q += qq&0xFF; yy[n-i-1] = q&0xFF; q>>=8; qq>>=8; q+=qq; } // Merge WORDs to DWORDs and copy them to result _alloc(n>>2); for (i = 0, j = 0; i<siz; i++) { q =(yy[j]<<24)&0xFF000000; j++; q |=(yy[j]<<16)&0x00FF0000; j++; q |=(yy[j]<< 8)&0x0000FF00; j++; q |=(yy[j] )&0x000000FF; j++; dat[i] = q; } #ifdef _mmap_h if (xx) mmap_del(xx); #endif delete xx; bits = siz<<5; sig = s; exp = exp0 + (siz<<5) - 1; // _normalize(); } 方法的最佳选择，并且在阈值Karatsuba乘法后更好。但我仍然认为应该有一些我们忽略的微不足道的东西。有没有其他想法？

NTT优化

经过大规模的强化优化（主要是NTT）：Stack Overflow问题sqr。

一些值已经改变：

Modular arithmetics and NTT (finite field DFT) optimizations

所以现在NTT乘法在大约1500 * 32位阈值之后最终比Karatsuba快。

发现了一些测量和错误

a = 0.98765588997654321000 | 1553*32bits
looped 10x times
mul2[ 28.585 ms ] Karatsuba mul
mul3[ 26.311 ms ] NTT mul

我发现我的Karatsuba（上/下）流过每个a = 0.99991970486 | 1553*32 bits looped: 10x sqr1[ 58.656 ms ] fast sqr sqr2[ 13.447 ms ] NTT sqr mul1[ 102.563 ms ] simpe mul mul2[ 28.916 ms ] Karatsuba mul Error mul3[ 19.470 ms ] NTT mul bignum段的LSB。当我研究过时，我会更新代码......

此外，在进一步NTT优化后，阈值发生了变化，因此对于NTT sqr，它是操作数的DWORD，而对于NTT mul，它是结果的310*32 bits = 9920 bits（操作数的位总和）。

由于@greybeard修复了Karatsuba代码

1396*32 bits = 44672 bits

我的//--------------------------------------------------------------------------- void arbnum::_mul_karatsuba(DWORD *z, DWORD *x, DWORD *y, int n) { // Recursion for Karatsuba // z[2n] = x[n]*y[n]; // n=2^m int i; for (i=0; i<n; i++) if (x[i]) { i=-1; break; } // x==0 ? if (i < 0) for (i = 0; i<n; i++) if (y[i]) { i = -1; break; } // y==0 ? if (i >= 0) { for (i = 0; i < n + n; i++) z[i]=0; return; } // 0.? = 0 if (n == 1) { alu.mul(z[0], z[1], x[0], y[0]); return; } if (n< 1) return; int n2 = n>>1; _mul_karatsuba(z+n, x+n2, y+n2, n2); // z0 = x0.y0 _mul_karatsuba(z , x , y , n2); // z2 = x1.y1 DWORD *q = new DWORD[n<<1], *q0, *q1, *qq; BYTE cx,cy; if (q == NULL) { _error(_arbnum_error_NotEnoughMemory); return; } #define _add { alu.add(qq[i], q0[i], q1[i]); for (i--; i>=0; i--) alu.adc(qq[i], q0[i], q1[i]); } // qq = q0 + q1 ...[i..0] #define _sub { alu.sub(qq[i], q0[i], q1[i]); for (i--; i>=0; i--) alu.sbc(qq[i], q0[i], q1[i]); } // qq = q0 - q1 ...[i..0] qq = q; q0 = x + n2; q1 = x; i = n2 - 1; _add; cx = alu.cy; // =x0+x1 qq = q + n2; q0 = y + n2; q1 = y; i = n2 - 1; _add; cy = alu.cy; // =y0+y1 _mul_karatsuba(q + n, q + n2, q, n2); // =(x0+x1)(y0+y1) mod ((2^N)-1) if (cx) { qq = q + n; q0 = qq; q1 = q + n2; i = n2 - 1; _add; cx = alu.cy; }// += cx*(y0 + y1) << n2 if (cy) { qq = q + n; q0 = qq; q1 = q; i = n2 -1; _add; cy = alu.cy; }// +=cy*(x0+x1)<<n2 qq = q + n; q0 = qq; q1 = z + n; i = n - 1; _sub; // -=z0 qq = q + n; q0 = qq; q1 = z; i = n - 1; _sub; // -=z2 qq = z + n2; q0 = qq; q1 = q + n; i = n - 1; _add; // z1=(x0+x1)(y0+y1)-z0-z2 DWORD ccc=0; if (alu.cy) ccc++; // Handle carry from last operation if (cx || cy) ccc++; // Handle carry from before last operation if (ccc) { i = n2 - 1; alu.add(z[i], z[i], ccc); for (i--; i>=0; i--) if (alu.cy) alu.inc(z[i]); else break; } delete[] q; #undef _add #undef _sub } //--------------------------------------------------------------------------- void arbnum::mul_karatsuba(const arbnum &x, const arbnum &y) { // O(3*(N)^log2(3)) ~ O(3*(N^1.585)) // Karatsuba multiplication // int s = x.sig*y.sig; arbnum a, b; a = x; b = y; a.sig = +1; b.sig = +1; int i, n; for (n = 1; (n < a.siz) || (n < b.siz); n <<= 1) ; a._realloc(n); b._realloc(n); _alloc(n + n); for (i=0; i < siz; i++) dat[i]=0; _mul_karatsuba(dat, a.dat, b.dat, n); bits = siz << 5; sig = s; exp = a.exp + b.exp + ((siz-a.siz-b.siz)<<5) + 1; // _normalize(); } //--------------------------------------------------------------------------- 号码表示：

arbnum
  • // dat is MSDW first ... LSDW last DWORD *dat; int siz,exp,sig,bits; 是mantisa。 LSDW表示最不重要的DWORD。
  • dat[siz]是exp的MSB的指数
  • 第一个非零位出现在尾数中!!! dat[0]
c++ algorithm multiplication bignum sqr
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如果我正确理解你的算法，似乎// |-----|---------------------------|---------------|------| // | sig | MSB mantisa LSB | exponent | bits | // |-----|---------------------------|---------------|------| // | +1 | 0.(0 ... 0) | 2^0 | 0 | +zero // | -1 | 0.(0 ... 0) | 2^0 | 0 | -zero // |-----|---------------------------|---------------|------| // | +1 | 1.(dat[0] ... dat[siz-1]) | 2^exp | n | +number // | -1 | 1.(dat[0] ... dat[siz-1]) | 2^exp | n | -number // |-----|---------------------------|---------------|------| // | +1 | 1.0 | 2^+0x7FFFFFFE | 1 | +infinity // | -1 | 1.0 | 2^+0x7FFFFFFE | 1 | -infinity // |-----|---------------------------|---------------|------| O(n^2)是数字的位数。

你看过n吗？它使用分而治之的方法加速乘法。可能值得一看。

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如果您正在寻找一个新的更好的指数，您可能必须在汇编中编写它。这是golang的代码。

Karatsuba Algorithm

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