生成唯一（不重复）随机数的高效算法

Question

我想解决以下问题。我必须在一个非常大的集合中进行采样，数量级为 10^20，并提取一个不重复大小约为 10%-20% 的样本。考虑到集合的大小，我相信像 Fisher-Yates 这样的算法是不可行的。

我认为像随机路径树这样的东西可能可以在 O(n log n) 中完成，而且不能更快地完成，但我想问这样的东西是否已经实现了。

感谢您的宝贵时间！

Answer 1

我不知道下面描述的技术在正式的随机性测试中效果如何，但它确实给出了“看起来随机”的结果。

您可以使用乘法逆来做到这一点。这个想法是使用数学函数将 1-N 范围内的每个整数映射到同一范围内的唯一整数。这通常用于生成混淆的密钥，但您可以通过更改种子值和从中提取项目的范围来调整它以生成随机子集。

不久前，我写了一篇关于如何生成混淆的顺序键的博客文章。这是代码：

private void DoIt()
{
    const long m = 101;         // Number of keys + 1
    const long x = 387420489;   // must be coprime to m

    // Compute the multiplicative inverse
    var multInv = MultiplicativeInverse(x, m);

    // HashSet is used to hold the obfuscated value so we can ensure that no duplicates occur.
    var nums = new HashSet<long>();

    // Obfuscate each number from 1 to 100.
    // Show that the process can be reversed.
    // Show that no duplicates are generated.
    for (long i = 1; i <= 100; ++i)
    {
        var obfuscated = i * x % m;
        var original = obfuscated * multInv % m;
        Console.WriteLine("{0} => {1} => {2}", i, obfuscated, original);
        if (!nums.Add(obfuscated))
        {
            Console.WriteLine("Duplicate");
        }
    }    
}

private long MultiplicativeInverse(long x, long modulus)
{
    return ExtendedEuclideanDivision(x, modulus).Item1 % modulus;
}

private static Tuple<long, long> ExtendedEuclideanDivision(long a, long b)
{
    if (a < 0)
    {
        var result = ExtendedEuclideanDivision(-a, b);
        return Tuple.Create(-result.Item1, result.Item2);
    }
    if (b < 0)
    {
        var result = ExtendedEuclideanDivision(a, -b);
        return Tuple.Create(result.Item1, -result.Item2);
    }
    if (b == 0)
    {
        return Tuple.Create(1L, 0L);
    }
    var q = a / b;
    var r = a % b;
    var rslt = ExtendedEuclideanDivision(b, r);
    var s = rslt.Item1;
    var t = rslt.Item2;
    return Tuple.Create(t, s - q * t);
}

该程序的前几行输出是：

1 => 43 => 1
2 => 86 => 2
3 => 28 => 3
4 => 71 => 4
5 => 13 => 5
6 => 56 => 6
7 => 99 => 7
8 => 41 => 8
9 => 84 => 9
10 => 26 => 10

如果您要更改函数开头的

m

和

x

值以反映您的数字范围，这对您有用。您可以从 50% 的标记开始，然后从那里开始，而不是总是从 1 开始并抓住前 10% 或 20%。或者使用某种技术来抓取每五个数字，或者其他什么，只要你的方法不会访问同一个数字两次。

如果您需要更多运行，只需更改

x

值即可。

生成乘法逆元（将其视为随机数生成器的种子）是一个 O(log n) 操作。之后，生成每个数字都是 O(1)。

当然，如果您使用 10^20 范围内的数字，则必须修改代码才能使用大整数类。