如何高效地找到DAG中的“主导路径”？

Question

我正在研究一个图问题，涉及一个具有 N 个节点和 M 个双向边的图。我使用 Dijkstra 算法从该图中构造了一个最短路径有向无环图 (DAG)，从源节点 S 开始到目标节点 T

考虑到使用 Dijkstra 算法构建的 DAG，我需要找到一条从 𝑆 到 𝑇 的特殊路径。该路径应具有以下属性：它与 DAG 中从 𝑆 到 𝑇 的所有其他可能路径至少共享一条边。换句话说，我正在寻找一条通过在至少一条边上与其他路径相交来“支配”其他路径的路径。

例如，在有边的图中：1 -> 2, 1 -> 3, 2 -> 4, 3 -> 4, 3 -> 5, 4 -> 6, 5 -> 6

从 1 到 6 的可能路径为：1 -> 2 -> 4 -> 6, 1 -> 3 -> 4 -> 6, 1 -> 3 -> 5 -> 6

那么路径 1 -> 3-> 4 -> 6 是一条“主导路径”，因为：

• 它与路径 1 -> 2 -> 4 -> 6 共享边 4 -> 6
• 它与路径 1 -> 3 -> 5 -> 6 共享边 1 -> 3

图

图2

蓝色路径是“主导路径”。

我想知道是否有一种有效的算法可以在多项式时间内识别这样的“主导路径”（如果可以的话）。这是图论中的已知问题，还是有一个我可以用来解决这个问题的相关概念？

我最初尝试通过在 DAG 中生成从 𝑆 到 𝑇 的所有可能路径来解决这个问题，然后用强力方法检查每条路径与所有其他路径。

然而，随着路径数量的增加，这种强力方法很快就变得不切实际了。我正在寻找一种更有效的解决方案，可以在多项式时间内找到“主导路径”。

Answer 1

为了有效地在有向无环图（DAG）中找到一条“主导路径”，我们需要确定一条从源节点（S）到目标节点（T）的路径，该路径与从（S）到（T）。这个问题可以使用图论中的概念来解决，特别是支配树。

识别主导路径的步骤

1. 构建DAG：

   • 首先使用 Dijkstra 算法找到从源节点 (S) 到目标节点 (T) 的最短路径 DAG。

2. 确定支配者关系：

   • 构建DAG的支配树。在支配树中，每个节点的父节点是该节点的直接支配者，这意味着在任何路径中到达子节点之前都必须遍历父节点。

3. 找到主导路径：

   • 一旦构建了支配树，就确定该树中从 (S) 到 (T) 的路径。该路径表示一系列节点，其中每个节点支配其后继节点。
   • 该路径中的边将是 DAG 中不同路径所共有（共享）的边，从而构成“主导路径”。

支配树构建算法

可以使用 Lengauer-Tarjan 等算法来构建支配树，该算法非常高效并且在几乎线性的时间内工作。

Python 实现

这是概述该方法的 Python 代码草图：

import networkx as nx

def compute_dominators(graph, start):
    # Use NetworkX to create a dominator tree from a given DAG
    dom_tree = nx.immediate_dominators(graph, start)
    return dom_tree

def find_dominant_path(dominator_tree, start, target):
    # Traverse the dominator tree to find the path from start to target
    path = []
    current = target
    while current != start:
        path.append(current)
        current = dominator_tree[current]
    path.append(start)
    path.reverse()
    return path

# Example usage
dag = nx.DiGraph()
edges = [(1, 2), (1, 3), (2, 4), (3, 4), (3, 5), (4, 6), (5, 6)]
dag.add_edges_from(edges)

# Construct dominator tree from the source node
dom_tree = compute_dominators(dag, start=1)

# Find the dominant path from start to target
dominant_path = find_dominant_path(dom_tree, start=1, target=6)
print(f"Dominant Path: {dominant_path}")

说明：

• compute_dominators(graph, start)

  ：使用 NetworkX 的内置函数计算支配树。

• find_dominant_path(dominator_tree, start, target)

  ：遍历支配树，找到从源到目标的路径。

复杂性：

• 使用 Lengauer-Tarjan 算法构建支配树的总体复杂度为 ( O(N + M) )，其中 ( N ) 是节点数， ( M ) 是图中的边数。

结论：

这种方法应该为您提供一种在 DAG 中查找“主导路径”的有效方法，利用主导树的属性来识别从 ( S ) 到 ( T ) 的所有路径共享的边。这种方法避免了对所有路径进行强力检查的需要，甚至对于更大的图也是可行的。