为什么我的二分查找需要额外的比较？ log2(N)+1

Question

我想在整数数组中找到第第一个整数的索引，即<= key. I can do it with binary search in log2(N)+1 compares. Shouldn't it be possible with only log2(N) compares?

// Returns the index of the first integer in keys <= key. size must be a power of 2.
unsigned find(int key, int* keys, unsigned size) {    
    int* origKeys = keys;

    for (int i = 0; i < log2(size); i++) {
        size /= 2;

        if (keys[size] < key)
            keys += size;
    }

    unsigned i = unsigned(keys - origKeys);
    // Not only is this step messy, because it doesn't fit the loop, but
    // now we have log2(n) + 1 comparisons.
    if (*keys < key)
        i++;

    return i;
}

Answer 1

让我们从信息论的角度来思考这个问题。如果你有一个包含 n 个元素的数组，则新元素可以放置在 n+1 个可能的位置：就在数组的任何元素之前，或者在所有元素之后。因此，您的算法需要进行足够的比较，以便能够唯一地识别 n+1 个点中哪一个是正确的。如果你没有进行足够的比较，你给出的答案并不总是正确的。

在最好的情况下，你所做的每一次比较都可以消除一半可能的位置。因此，在理论极限内，通过 k 次比较，您可以决定 2^k 个位置中哪一个是正确的。由于有 n+1 个可能的位置，因此在最坏的情况下需要进行 lg (n+1) 比较，而不是 lg n。由于 n 是 2 的完美幂，这意味着需要进行一次额外的比较。另一方面，如果 n 小于 2 的完美幂，那么进行 ceil(lg n) 比较就足够了。

由 Eloff 编辑，这段代码似乎按照您的预测给出了 log2(n+1) 步骤的正确答案：

// Returns the index of the first integer in keys <= key. size must be one less than a power of 2.
unsigned find(int key, int* keys, unsigned size) {    
    int* origKeys = keys;
    size++;

    while(size > 1) {
        size /= 2;

        if (keys[size-1] < key)
            keys += size;
    }

    return unsigned(keys - origKeys);        
}

Answer 2

是的，使用二分搜索并假设元素在集合中，log2(N) 比较就足够了。

但是，如果您的元素不在集合中，则可能需要 log2(N) + 1，比较后才能意识到您已耗尽集合。最后的比较是与空集的比较，这让您意识到您已经完成了。

就我个人而言，我想知道与空集的比较是否算作比较，但我正在阅读的文本将其算作计算机将运行时间增加一步的一步。