ULP 1 时的舍入 - Java 和 C++

Question

问题的原因源于我在计算 C++ 中的 std::exp(x) 与 Java 中的 Math.exp(x) （x 类型为 double）时观察到的结果差异。我注意到两种语言用于计算 exp() 的算法是不同的。不过，我相信它们都确保舍入误差为 ULP 1。

所以问题如下： ULP 时如何进行舍入？它如何决定向上舍入还是向下舍入？以及“谁”做出选择？

我希望在 C++ 中计算 exp(x) 时获得与 Java 相同的精确结果。 如果我在 C++ 中复制 Java 在 Math.exp() 中使用的精确算法（实际上委托给 fdlibm），我会在两种语言之间获得相同的结果吗？ 或者 ULP 1 的结果是向上或向下舍入是任意的，因此它不依赖于特定算法？

注意：我对 ULP 1 的理解是，如果数学函数的结果是，假设 f(x) = 0.55，并且接近它的浮点数是 0.52 和 0.56，那么（即使 0.56 是最佳值）选择）结果可能是 0.52 或 0.56。

进一步的问题：我还观察到，在 x86 和 x64 之间切换 C++ 确实会改变 exp(x) 的结果，有时会将其与 Java 给出的结果对齐。为什么在 x86 和 x64 构建的 C++ 中 exp(x) 的结果会发生变化？

Answer 1

注意：我对 ULP 1 的理解是，如果数学函数的结果是（假设）f(x) = 0.55，并且接近它的浮点数是 0.52 和 0.56，那么（即使 0.56 是最佳值）选择）结果可能是 0.52 或 0.56。

这是不正确的。 C++ 标准没有指定标准库中的数学例程必须计算的精确度，并且实现各不相同。并注意复数：有多种实现。你的问题指的是“C++ 中的 std::exp(x)”，就好像它是一个单一的东西一样。它不是。

exp

在不同的 C++ 实现中使用了不同的实现。单个 C++ 编译器甚至可以与包含

std::exp

实现的不同选择的库链接。

我不太熟悉 Java 标准在这方面的规范，尽管我知道它的

StrictMath

类是根据 fdlibm 版本 5.3 定义的，因此它应该在不同的实现中给出可重现的结果。

您描述的属性，其中

f(x)

的计算结果是直接限制数学 f(x) 的两个浮点数之一，称为 忠实舍入。 （不同地方使用的“忠实舍入”的定义可能略有不同。）

数学例程的实现不忠实地舍入是很常见的。多个 ULP 的错误可能是常见的，并且可能存在更大的错误。

除非使用带有 C++ 的 fdlibm 版本 5.3 实现，否则不太可能在 Java 和 C++ 中获得相同的结果。