偏序集中的乘积和联积

Question

在阅读 Bartosz 的优秀著作《程序员的范畴论》时，我陷入了第二个练习，该练习涉及偏序集中的乘积。给定一个偏序集，

    b   e
  ↗   ⤭   ↘
a → c   f → h
  ↘   ⤭   ↗
    d   g

如何从类别意义上定义产品？根据两个对象的乘积可以分类什么？那么副产品呢？

Answer 1

对象

a

和

b

的乘积是具有态射

c

和

p :: c -> a

的对象

q :: c -> b

存在，这样对于任何其他对象

c'

（具有态射

p' :: c' -> a

和

q' :: c' -> b

） ，存在态射

m :: c' -> c

使得

p' = p . m

和

q' = q . m

。

请记住，偏序集中的态射基本上描述了“小于或等于”的关系。

现在两个对象

c

和

a

之间的乘积

b

必须是小于或等于

a

和

b

的对象。例如，让我们从图表中选择

a

作为

e

，将

b

作为

g

：

    b   e -- this one is a
  ↗   ⤭   ↘
a → c   f → h
  ↘   ⤭   ↗
    d   g -- this one is b

简单地说，第一个想到的“总是”小于或等于任何其他物体的物体是最小的物体，在这种情况下是

a

。 现在

a

是

e

和

g

乘积的有效候选者吗？我们来看看产品的定义：从

a

到

e

是否存在态射？是的，它存在并且可以写成

pₐ = ce . ac

（读作：“首先是从 a 到 c 的箭头，然后是从 c 到 e 的箭头”）。从

a

到

g

是否存在态射？是的，这也存在，可以写成

qₐ = cg . ac

。到目前为止一切顺利，剩下的唯一问题是这是否是“最佳”候选者，因为不存在其他对象，因此我们可以在

a

和其他候选者之间构建唯一的同构？

查看图表，我们可以看到对象

c

也满足所需的条件，即

p = ce

和

q = cg

。剩下要做的就是根据上面的定义对这两个对象进行排名。我们看到存在从

a

到

c

的态射。这意味着

c

必须是最佳候选者，因为我们现在可以定义态射

m = ac

，使得

pₐ = p . m = ce . ac

和

qₐ = q . m = cg . ac

。因此，偏序集中两个对象的乘积实际上是比这两个对象都小的最大对象（也称为最大下界）。值得注意的是，在全序中，这对应于函数

min(a, b)

，因为每个对象都必须与任何其他对象相关（Wolfram 称之为

三分法

）。

与乘积定义类似，余积对应于大于或等于 a

和

---

b

的最小对象。在全序中，这对应于两个对象的最大值。你可以自己解决这个问题。