在我断言的测试问题中
R ∩ (R ∩ S) = R ∩ S
如果这是集合论，我会争论
R∩（R∩S）
= (R ∩ R) ∩ S 通过结合性
= (R) ∩ S 由幂等性
= R ∩ S
使用关系代数，我们是在袋子上进行操作。 我可以对袋子采取相同的步骤（幂等性似乎微不足道，http://comet.lehman.cuny.edu/stjohn/teaching/db/ullmanSlidesF00/slides7.pdf的第3页建议关联性），但我无法形成正式证明。
如何证明（或通过反例或其他方式反驳）关系代数中交集的结合性和幂等性？
关系模型是在集合上正式定义的，因此关系代数仅在集合上定义。但自从关系数据库将模型扩展为包含多重集或包以来，关系代数也已类似地扩展到多重集，并且几乎所有有关数据库的现代书籍都描述了这种扩展。
特别地，使用符号 Opb 来表示算子 Op 在多重集上的变体，我们可以定义算子 ∩b、∪b 和 −b 如下：
R ∩b S：如果一个元素 t 在 R 中出现 n 次，在 S 中出现 m 次，那么它在 R ∩b S 中出现 min(n,m) 次；
R ∪b S：如果一个元素 t 在 R 中出现 n 次，在 S 中出现 m 次，那么它在 R ∪b S 中出现 n+m 次；
R −b S：如果元素 t 在 R 中出现 n 次，在 S 中出现 m 次，则它在 R −b S 中出现 max(0,n-m) 次。
您想表明：
R ∩b S = R ∩b (R ∩b S)
正如您的正确推导所示，如果我们可以证明运算符 ∩b 的结合性和幂等性，则可以证明这一点。
幂等性：
R ∩b R = R
在这种情况下，由于每个元素在两个操作数中出现的次数相同，即 m = n，所以它在结果中出现 min(n, n) = n 次，即它出现R 的次数相同。
关联性：
(R ∩b S) ∩b T = R ∩b (S ∩b T)
假设某个元素t在R中出现n次，在S中出现m次，在T中出现k次，我们有：
(R ∩b S) ∩b T
它将在结果中出现 min(min(n,m), k) 次，这等于 min(n,m,k)。另一方面，在：
R∩b（S∩bT）
它将在结果中出现 min(n, min(m,k)) 次，但这又等于 min(n,m,k)。
所以这意味着它在两个结果中出现的次数相同，因此两个结果相等。
正如 philipxy 已经评论的那样，关系是集合，因此集合论适用。 下面提供的链接为您提供了变换等价列表，并且其中列出了并集和交集的关联属性。
http://www.postgresql.org/message-id/attachment/32495/equivalenceRules.pdf
可能会提出这样的问题：有多少关系代数定理在 SQL 数据库领域（而不是关系代数领域）可证明是正确的。 这是有问题的，因为任何给定的实现都可能存在错误，甚至 SQL 模型中也可能存在缺陷。 我倾向于盲目地假设关系代数的结果会延续到现实世界中，但一些深刻的思想家在这方面发出了警告。