无箭头的箭头

Question

如果我们将类别的理解限制为 Haskell 中常见的

Category

类：

class Category c where
  id :: c x x
  (>>>) :: c x y -> c y z -> c x z

那么我们假设

Arrow

是

Category

，它还可以：

class Category c => Arrow c where
  (***) :: c x y -> c x' y' -> c (x,x') (y,y')
  (&&&) :: c x y -> c x y' -> c x (y,y')

我们很容易得出：

first :: c x y -> c (x,z) (y,z)
first a = a *** id

second :: c x y -> c (z,x) (z,y)
second a = id *** a

或者我们可以从

(***)

和

first

导出

second

：

a1 *** a2 = first a1 >>> second a2

我们还可以推导出：

dup :: c x (x,x)
dup = id &&& id

或者我们可以根据

(&&&)

和

dup

推导出

(***)

：

a1 &&& a2 = dup >>> (a1 *** a2)

---

我的观点是什么，我的问题是什么？是这个：

没有

Arrow

的

arr

是什么？它看起来非常连贯且有用。是否存在任何不涉及

arr

并且在这里保持完整的箭头定律（除了类别定律）？这在范畴论中意味着什么？

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这个问题我基本上是从reddit上偷来的，但对其进行了概括和阐述： http://www.reddit.com/r/haskell/comments/2e0ane/category_with_fanout_and_split_but_not_an_arrow/

Answer 1

正如

Arrow

是一个包含产品的类别一样，

Arrow

没有

arr

也是一个包含产品的类别（因此类别法则始终成立）。

arr

是从Hask类别到

c

类别的函子。下面显示的代码表明了这一点。

arr

提供了一种将普通函数（Hask 中的态射）提升到实例化

c

类别的方法。这有点像

fmap

（从 Hask 到 Hask 的函子），但更通用。与此相关，一些箭头定律here描述了函子定律（尽管也有乘积定律）。

因此，通过省略

arr

，您将失去提升正常功能的功能，或者从另一个角度来看，无需实现它。然而，所有其他特征都是相同的。

{-# LANGUAGE TypeOperators, RankNTypes #-}

-- | Functor arrow
type (:->) c d = forall a b. c a b -> d a b

-- | Hask category; types are objects, functions are morphisms.
type Hask = (->)

arr :: Arrow c => Hask :-> c
arr = Control.Arrow.arr