为什么计算机科学中的“(eps * 0.5) + 1”不大于“1”？

Question

我正在学习Matlab，我不明白为什么

(eps * 0.5) + 1

不大于1。

eps

ans =

     2.220446049250313e-16

fprintf('%.52f\n', eps);
0.0000000000000002220446049250313080847263336181640625
sign(eps)

ans =

     1

% 1 means that eps is >= 0
eps >= 0

ans =

  logical

   1

eps > 0

ans =

  logical

   1

eps < 0

ans =

  logical

   0

% so, now I take half of eps
my_half_eps = eps * 0.5;
my_half_eps

my_half_eps =

     1.110223024625157e-16

fprintf('%.52f\n', my_half_eps);
0.0000000000000001110223024625156540423631668090820312
sign(my_half_eps)

ans =

     1

% half eps is positive
my_half_eps >= 0

ans =

  logical

   1

my_half_eps > 0

ans =

  logical

   1

my_half_eps < 0

ans =

  logical

   0

fprintf('%.52f\n', (eps + 1));
1.0000000000000002220446049250313080847263336181640625
% correct
fprintf('%.52f\n', (my_half_eps + 1));
1.0000000000000000000000000000000000000000000000000000
% WHAT ???
diary off

我认为

eps

是我可以加到 1 的最小数字。那么，向小于

eps

的数字加 1 会出现这个问题吗？

Answer 1

执行加法或几乎任何浮点运算时，正确舍入的结果¹就像：

• 我们使用实数运算计算出准确的结果。
• 该结果四舍五入为最接近的可表示数字（使用有效的舍入规则选择）。

最常见的舍入规则是四舍五入到最接近的可表示数字，如果出现平局，则四舍五入到具有偶数低位的数字。²

在

double

精度常用的格式中，1表示为：

+1.0000000000000000000000000000000000000000000000002•20

（我已将最后一位数字标记为粗体，以直观地标记其位置）。下一个可代表的数字是

+1.0000000000000000000000000000000000000000000000012•20

eps

，所谓的“机器epsilon”是：

+0.0000000000000000000000000000000000000000000000012•20

所以 1 加 ½

eps

的实数运算结果为：

+1.00000000000000000000000000000000000000000000000012•20

查看 1、½

eps

+ 1 的实数结果以及下一个可表示数，我们可以看到 ½

eps

+ 1 正好位于两个可表示数之间的中间：

+1.0000000000000000000000000000000000000000000000002•20
+1.00000000000000000000000000000000000000000000000012•20
+1.0000000000000000000000000000000000000000000000012•20

因此，将 1/2

eps

加 1 的浮点运算将产生偶数低位的邻居，即 1.0000000000000000000000000000000000000000000000000₂•2⁰ = 1.

如果将 ⅝

eps

加到 1，结果将是下一个可表示的数字 1.000000000000000000000000000000000000000000000001₂•2⁰，因为实数结果将通过中点，所以四舍五入将是到下一个数字。

脚注

¹ 诸如正弦和幂（指数）之类的困难运算通常是通过不正确的舍入来实现的。这仅适用于单个操作；多个操作的序列通常不会产生正确的舍入结果，除非专门设计和记录。

² 在严格限制的格式中，一位数精度下，两个邻居都可能以奇数位结尾，如 9•10⁰ 和 1•10¹。在这种情况下，使用幅度较大的数字。