这个5行Java算法的时间复杂度是多少？

Question

这是以下problem的解决方案

基本上，你有一串' - '和'+'字符：

++-++++

你将两个'+'连续翻到' - '，然后你的朋友做同样的事情，然后回到你身边，依此类推。一旦有人无法采取行动，他们就会失败。

所以对于上面的游戏，如果你先行，你可以通过翻转最后两个'+'或中间两个'+'来获胜（想一想）。

这是一种算法，可以解决玩家首次获胜的问题：

public boolean canWin(String s) {
    for (int i = 0; i < s.length() - 1; ++i)
        if (s.charAt(i) == '+' && s.charAt(i + 1) == '+' && 
            !canWin(s.substring(0, i) + "--" + s.substring(i + 2)))
                return true;
    return false;
}

基本上，该算法递归地说：“如果玩家可以将棋盘减少到玩家首先输掉的状态，那么该玩家将首先获胜”。

这是我对时间复杂性的看法：

设N是板上的字符数。

在最坏的情况下，有N-1个动作（如果全部是'+'）。每次移动都会使电路板（最坏情况下）仅移动2次。

但后来我卡住了。我知道它比N *（N-2）*（N-4）* ... * 1更糟糕，但我无法表达它。

Answer 1

在最坏的情况下，第一个玩家无法获胜，循环将经历所有迭代。将问题大小n作为输入字符串中的加号数，我们的运行时间为T（n）=（n-1）T（n-2）=（n-1）（n-3） T（N-4）= ... = O（N！）。在这里，n !!是双重因素。这明显比指数更糟，这个问题相当可怕。你可以使用动态编程来改善这个限制，如下所示：

Set<String, Boolean> canWinMap = new HashMap<>();

public boolean canWin(String s) {
    if (canWinMap.hasKey(s)) {
        return canWinMap.get(s);
    }
    for (int i = 0; i < s.length() - 1; ++i)
        if (s.charAt(i) == '+' && s.charAt(i + 1) == '+' && 
            !canWin(s.substring(0, i) + "--" + s.substring(i + 2)))
                canWinMap.put(s, true);
                return true;
    canWinMap.put(s, false);
    return false;
}

然后，最坏情况受到指数（可能是线性项）的限制，因为只有从包含'+'和' - '的起始字符串派生的O（2 ^ n）个可能的字符串。在此之后，所有递归调用都是常量时间（摊销）。