模 7 乘法下 [1, 2, 3, 4, 5, 6] 的循环群生成器

Question

求模 7 乘法下循环群 [1, 2, 3, 4, 5, 6] 中的所有生成元。 我得到了 <1> 和 <5> 作为生成器。答案是<3>和<5>。有人能告诉我为什么 3 是生成器吗？

Answer 1

通过计算每个元素的幂来计算 [1, 2, 3, 4, 5, 6] 的循环子群：

• 1 = {1^1 mod 7 = 1, 1^2 mod 7 = 1, ...}
• 2 = {2^1 mod 7 = 2, 2^2 mod 7 = 4, ...}
• 3 = {3, 2, 6, 4, 5, 1}
• 4 = {4, 2, 1}
• 5 = {5, 4, 6, 2, 3, 1}
• 6 = {6,1}

从中可以看出3和5是循环的。

Answer 2

定义循环群并判断*下的{1,2,3,4,5}模6是否是循环群？