对于归纳型nat
,生成的归纳原理在其声明中使用构造函数O
和S
:
Inductive nat : Set := O : nat | S : nat -> nat
nat_ind
: forall P : nat -> Prop,
P 0 ->
(forall n : nat, P n -> P (S n)) -> forall n : nat, P n
但是对于le
,生成的语句不使用构造函数le_n
和le_S
:
Inductive le (n : nat) : nat -> Prop :=
le_n : n <= n | le_S : forall m : nat, n <= m -> n <= S m
le_ind
: forall (n : nat) (P : nat -> Prop),
P n ->
(forall m : nat, n <= m -> P m -> P (S m)) ->
forall n0 : nat, n <= n0 -> P n0
然而,有可能陈述和证明一个与nat
相同形状的感应原理:
Lemma le_ind' : forall n (P : forall m, le n m -> Prop),
P n (le_n n) ->
(forall m (p : le n m), P m p -> P (S m) (le_S n m p)) ->
forall m (p : le n m), P m p.
Proof.
fix H 6; intros; destruct p.
apply H0.
apply H1, H.
apply H0.
apply H1.
Qed.
我想生成的更方便。但Coq如何根据其生成的感应原理选择形状?如果有任何规则,我在参考手册中找不到它们。那么其他的助手如Agda呢?
您可以使用命令Scheme
手动生成归纳类型的归纳原理(请参阅documentation)。
该命令有两种形式:
Scheme scheme := Induction for Sort Prop
生成标准的诱导方案。Scheme scheme := Minimality for Sort Prop
生成一种更适合归纳谓词的简化归纳方案。如果在Type
中定义归纳类型,则生成的归纳原理属于第一类。如果在Prop
中定义归纳类型(即归纳谓词),则生成的归纳原理属于第二类。
要获得le
所需的归纳原理,可以在Type
中定义它:
Inductive le (n : nat) : nat -> Type :=
| le_n : le n n
| le_S : forall m : nat, le n m -> le n (S m).
Check le_ind.
(* forall (n : nat) (P : forall n0 : nat, le n n0 -> Prop),
P n (le_n n) ->
(forall (m : nat) (l : le n m), P m l -> P (S m) (le_S n m l)) ->
forall (n0 : nat) (l : le n n0), P n0 l
*)
或者您可以手动要求Coq生成预期的归纳原则:
Inductive le (n : nat) : nat -> Prop :=
| le_n : le n n
| le_S : forall m : nat, le n m -> le n (S m).
Check le_ind.
(* forall (n : nat) (P : nat -> Prop),
P n ->
(forall m : nat, le n m -> P m -> P (S m)) ->
forall n0 : nat, le n n0 -> P n0
*)
Scheme le_ind2 := Induction for le Sort Prop.
Check le_ind2.
(* forall (n : nat) (P : forall n0 : nat, le n n0 -> Prop),
P n (le_n n) ->
(forall (m : nat) (l : le n m), P m l -> P (S m) (le_S n m l)) ->
forall (n0 : nat) (l : le n n0), P n0 l
*)
这是因为le_S
和le_n
被扩大了。
le_ind
: forall (n : nat) (P : nat -> Prop),
P n -> 1) le_n case
(forall m : nat, n <= m -> P m -> P (S m)) -> 2) le_S case
forall n0 : nat, n <= n0 -> P n0
n <= n0
可以用两种方式构建:
le_n
所以你有n <= n
。你必须展示P n
。由于您在构造函数中没有任何含义,因此您没有任何前提。le_S
。所以你有n <= m -> n <= S m
。你想要展示P (S m)
。既然你有n <= m
,你可以假设n <= m
和(归纳假设)P m
是真的。