假设我在此类别中有一个类别$ C $和一个态射$ f：a \ rightarrow b $。假设诱导映射$ f ^ {\ ast}：Hom_ {C}（a，a）\ rightarrow Hom_ {C}（b，a）$诱导集合的双射。是不是存在一个态射$ g：b \ rightarrow a $这样$ g \ circ f = id_ {a} $？
首先，我认为你有一个错误，而Hom（b，a）应该是Hom（a，b）。
如果这就是你的意思，那么答案是否定的。
举一个简单的例子，取一个带有两个对象a,b和一个非同一性箭头f : a -> b的类别。然后Hom(a,a) = {id_a}和Hom(a,b) = {f}和f确实诱导组成g |-> f o g的双射。
这类似于拓扑中的一些基本事实，例如并非每个满射连续函数都具有连续逆。
然而，如果你要求f不仅给Hom(a,a) -> Hom(a,b)上的双射，而是给每个Hom(c,a) -> Hom(c,b)投射c，自然地，那么你会得到一个逆变态，因为Yoneda引理和自然变换的事实一个自然的逆iff，它的每个分量都有一个逆。