Haskell 类型类中的乘积和求和类型并行

Question

看起来，诸如 Applicative、Monad 和 Arrow 等类型类分别在 Alternative、MonadPlus 和 ArrowPlus 等类型类中具有某种等价的求和类型。例如，Applicative 和 Alternative 可用于定义以下内容：

(<&&>) :: Applicative f => f a -> f b -> f (a, b)
a <&&> b = (,) <$> a <*> b

(<||>) :: Alternative f => f a -> f b -> f (Either a b)
a <||> b = (Left <$> a) <|> (Right <$> b)

但是，在所有这些情况下（以及ArrowChoice），产品类型类是总和类型类的先决条件。是否有依赖于先决条件类的类型类规则或通用函数？ Typeclassopedia 涉及到这些关系，但不幸的是我找不到任何明确的依赖原因。

Answer 1

Arrow

基本上是幺半群类别¹的类——“幺半群”不是指

Monoid

，而是指Haskell 类型的乘积幺半群。即，具有单位元素

()

和乘法

(,)

。现在，求和类型也构成了幺半群，这就是

ArrowChoice

所使用的。从这个意义上说，这两个类别是互补的。

ArrowChoice

不应该是

Arrow

的子类。

在幺半群范畴中，你可以继续拥有幺半群函子。这些结果如何取决于你使用什么作为你的类型幺半群。对于

(), (,)

，你得到

class ProdMonoidalFtor f where
  prodUnit :: () -> f ()
  prodZip :: (f a, f b) -> f (a,b)

type (+) = Either
class SumMonoidalFtor f where
  sumUnit :: Void -> f Void
  sumZip :: f a + f b -> f (a+b)

事实证明后者基本上没用，因为

Void

是Hask的初始对象，这意味着

Void -> a

（即

absurd

）适用于所有类型

a

。然而，真正有意义的是 共形函子 和

+

:

class SumCoMonoidalFtor f where
  sumCounit :: f Void -> Void -- I bet you find this useless too, but it's not totally.
  sumCozip :: f (a+b) -> f a + f b

这对于产品类型来说没有意义，因为

()

是 terminal 对象。

现在有趣的是

ProdMonoidalFtor

相当于

Applicative

:

instance (ProdMonoidalFtor f) => Applicative f where
  pure x = fmap (const x) $ prodUnit ()
  fs <*> xs = fmap (\(f,x) -> f x) $ prodZip (fs,xs)

有人可能会怀疑

Alternative

等同于

SumMonoidalFtor

，但事实并非如此！实际上，它相当于决定性函子，它对于comonads就像应用程序对于monads一样。

虽然

Alternative

和

MonadPlus

似乎没有太多数学支持，但它们本质上是当“un-Kleisliing”

ArrowChoice

类时得到的，但使用源自

ProdMonoidalFtor

的 Kleisli 类别。这一切都有点可疑。

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¹_仅考虑

first

/

left

、

second

/

right

和

***

/

+++

。至于剩下的

&&&

、

|||

和

arr

，这些更加具体，IMO 属于 不同的类别。