贝塞尔函数的自然对数，溢出

Question

我正在尝试计算 MATLAB 中第二种类型的修正贝塞尔函数的对数，即类似的东西：

log(besselk(nu, Z)) 

例如哪里

nu = 750;
Z = 1;

我有一个问题，因为

log(besselk(nu, Z))

的值趋于无穷大，因为

besselk(nu, Z)

是无穷大。然而，

log(besselk(nu, Z))

确实应该很小。

我正在尝试写一些类似的东西

f = double(sym('ln(besselk(double(nu), double(Z)))'));

但是，我收到以下错误：

使用 mupadmex 时出错 MuPAD 命令中的错误：DOUBLE 无法将输入表达式转换为双精度数组。如果输入表达式包含符号变量，请改用 VPA 函数。

sym/double 中的错误（第 514 行） Xstr = mupadmex('symobj::double', S.s, 0)`;

如何避免这个错误？

Answer 1

你做错了一些事情。使用

double

作为

besselk

的两个参数并将输出转换为符号是没有意义的。您还应该避免使用基于旧字符串的

sym

输入。相反，您想以符号方式计算

besselk

（这将返回大约 1.02×10²⁰⁵⁵，远大于

realmax

），以符号方式取结果的对数，然后转换回双精度。

以下内容就足够了 - 当一个或多个输入参数是符号时，将使用

besselk

的符号版本：

f = double(log(besselk(sym(750), sym(1))))

或者旧的字符串形式：

f = double(sym('log(besselk(750, 1))'))

如果您想保留参数的符号并在以后进行评估：

syms nu Z;
f = log(besselk(nu, Z))
double(subs(f, {nu, Z}, {750, 1}))

确保您没有翻转数学中的

nu

和

Z

值，因为大订单 (

nu

) 并不常见。

Answer 2

正如 njuffa 指出的那样，DLMF 对于大 nu 给出了 K_nu(z) 的渐近展开式。从 10.41.2 开始，我们找到实正参数 z:

besselk(nu,z) ~ sqrt(pi/(2nu)) (e z/(2nu))^-nu

经过一些简化后给出

log( besselk(nu,z) ) ~ 1/2*log(pi) + (nu-1/2)*log(2nu) - nu(1 + log(z))

所以它是 O(nu log(nu))。毫不奇怪，当 nu > 750 时，直接计算失败。

我不知道这个近似值有多准确。也许您可以将其与 besselk 小于数值无穷大的值进行比较，看看它是否符合您的目的？

编辑：我刚刚尝试了 nu=750 和 z=1：上面的近似值给出了 4.7318e+03，而根据 horchler 的结果，我们得到 log(1.02*10^2055) = 2055*log(10) + log( 1.02) = 4.7318e+03。因此，对于 nu >= 750 且 z=1，它至少有 5 位有效数字！如果这对你来说足够好，这将比符号数学快得多。

Answer 3

你尝试过积分表示吗？

Log[积分[Cosh[Nu t]/E^(Z Cosh[t]), {t, 0, 无穷大}]]

Answer 4

这里是第二类贝塞尔函数对数的Python循环实现。 更多信息请参阅技术报告。