我有一个RKF7（8）积分器，我已经用几个简单的测试功能验证了其输出。但是，当我在感兴趣的运动方程式上使用它时，局部截断误差突然很小。对于大约1e-1的时间步，我的错误全都围绕1e-18或1e-19。对于简单的测试函数（到目前为止，正弦和指数），误差始终是合理的，即同一时间步长为1e-7左右。
简单测试函数和问题函数之间的唯一区别是，这是一个巨大的代码块，例如可能有1000个不同的术语，其中一些具有相对较大的指数（例如9或10）。可能会影响精度吗？我应该更改代码以使用long double吗？
非常有趣的问题。您面临的问题可能与浮点算法的问题（或局限性）有关。由于函数包含的数值范围很宽，因此您的计算可能会损失一些精度。通常，这些问题的形式可以是：
当您处理的数字相对于机器精度而言太大或太小时，就会发生上溢和下溢，我敢打赌，这不是您的系统中发生的情况。但是，必须考虑到乘法和除法运算会导致上溢和下溢。另一方面，由于舍入误差的原因，相加数量相差很大的数量（或相减相似数量的数量）会导致精度的严重降低。根据我在涉及大量问题的优化问题上的经验，我会说这可能是对积分器行为的合理解释。
我有两个建议给您。第一个当然是将您的数字精度提高到最大程度。这可能会有所帮助，具体取决于您的问题ill conditioned。第二个方法是使用更好的算法来执行数值方法中的总和。与天真地按顺序相加所有数字相反，您可以使用更精细的策略，将总和划分为子总和，从而有效地减少舍入误差。这些算法的显着示例是pairwise summation和Kahan summation。
我希望这个答案为您提供一些线索。祝你好运！