两个向量的交集

Question

我在 3D 空间中有 2 个点，每个点有一个向量。我需要知道这两个向量是否彼此相交。还有交叉点（如果存在）。

我尝试搜索，但我的英语知识不足以进行这种搜索。如果有人有链接或解释，我将非常感激。

Answer 1

我相信你指的是线，而不是矢量。向量就像空间中的单个点，线是连续的点集。

首先，考虑您想要如何表示线条。您可能首先尝试的方法是使用

y = mx+b

。但这对于您来说可能不是最容易以编程方式完成的事情，并且它不能很好地扩展到 3D。

相反，您应该使用如图所示的线的矢量表示。

[x, y] = [m_x, m_y]*t + [b_x, b_y]

基本上这个方程的意思是，点 x 和 y 被定义为基点，我将其写为

[b_x, b_y]

，加上某个向量

[m_x, m_y]

的标量倍数。您可以将其视为斜率向量，并且它按某个数字

t

进行缩放。通过插入不同的

t

值，您可以得到 线上的每个点。

我们可以通过以下方式从

y = mx + b

进行转换：

1. b

   是 y 轴截距。这是一个点

   [0, b]

   ，这是我们的

   [b_x, b_y]

   术语。

2. m

   是斜率，是

   m_y/m_x

   的比率。如果您有一个方程，其中

   m=3

   那么您就知道 y 的增长速度比 x 快 3 倍。这可以让我们

   [m_x, m_y]

   成为

   [1, 3]

   、

   [4, 12]

   ，或者其他任何东西，只要

   m_y/m_x = m

   。

现在我们将有两个方程，每行一个。

(1) [x, y] = [m_x_1, m_y_1]*t + [b_x_1, b_y_1]
(2) [x, y] = [m_x_2, m_y_2]*s + [b_x_2, b_y_2]

如果我们将这两个方程设置为彼此相等，那么我们可以求解 s 和 t 来找出交点在哪里，或者是否存在交点。

[m_x_1, m_y_1]*t + [b_x_1, b_y_1] = [m_x_2, m_y_2]*s + [b_x_2, b_y_2]

接下来，我们可以将

m*s

和

m*t

项表示为矩阵乘法。在这个阶段，我将开始垂直绘制向量，而不是水平绘制。

|m_x_1, -m_x_2| * |s| = |b_x_2 - b_x_1|
|m_y_1, -m_y_2|   |t|   |b_y_2 - b_y_1|

现在我们有一个由以下矩阵方程表示的线性方程。在这种情况下，

[s, t]

是我们的

x

，我们正在努力解决这个问题。该方程告诉我们，我们可以通过将

x

的矩阵逆乘以

A

来求解

b

。

Ax=b
x=A^-1b

您可以在此处阅读有关矩阵逆的内容。只需知道 2x2 矩阵可以按如下方式计算其逆矩阵：

|a, b|^-1 = 1/(ad - bc) * |d,  -b|
|c, d|                    |-c,  a|

现在请注意

(ad-bc)

术语。它是一个分母，如果它为零，则矩阵逆矩阵的答案未定义。 这意味着没有交点，对于我们的直线方程，没有交点看起来像这样：

0 = m_x_1 * -m_y_2 + m_x_2 * m_y_1

如果不为零，那么我们可以得出如下的

s, t

项：

[s, t] = 1/(m_x_1 * -m_y_2 + m_x_2 * m_y_1) * [(b_x_1 - b_x_2), (b_y_1, b_y_2)]

现在这些 s 和 t 项将是来自

(-Infinity, +Infinity)

的实数。如果你只关心射线相交，那么你可以扔掉一个并保留一个，我就拿

s

。这个

s

为我们提供了在线

(1)

上发生相交的点。我们可以将其代入方程并得到交集。

[x, y]

这里就是你的十字路口。

[x, y] = [m_x_1, m_y_1]*t + [b_x_1, b_y_1]

我不相信我犯了任何错误，但尝试自己将其扩展到 3D，步骤是相同的！.

Answer 2

以向量方式，您想要求解参数

r

和

s

系统

P + r.U = Q + s.V

相当于

Px + r.Ux = Q.x + s.Vx
Py + r.Uy = Q.y + s.Vy
Pz + r.Uz = Q.z + s.Vz

（点

P

和

Q

，向量

U

和

V

）。

这是一个包含 2 个未知数的 3 个方程组，通常无解。兼容性条件可以写

|Ux Vx Px-Qx|
|Uy Vy Py-Qy| = 0
|Uz Vz Pz-Qz|

如果该条件成立*，您可以求解通过删除其中一个方程而获得的 2x2 系统。如果要将解限制为由点和向量定义的线段，请检查

r

和

s

属于

[0, 1]

。从

r

或

s

您可以计算交叉点的位置。

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*由于浮点问题，条件可能不完全成立。讨论它应该有多接近 0 超出了本答案的范围。