四元数旋转无法正常工作

Question

在用于Android的OpenGL ES 1中，我有一个Rubic多维数据集，其中包含27个较小的多维数据集。我想要旋转，使特定的小立方体正好位于视点的前面。所以我需要两个向量一个是从对象原点到特定立方体的向量。另一个是从原点到视点的向量。然后它们的叉积给我旋转轴，点积给我角度。

我将（0,0,1）（这是从原点到世界坐标中的视点的矢量转换为对象坐标）。这是代码：

    matrixGrabber.getCurrentModelView(gl);
    temporaryMatrix.set(matrixGrabber.mModelView);

    inputVector[0] = 0f; 
    inputVector[1] = 0f;
    inputVector[2] = 1f;
    inputVector[3] = 1f;
    Matrix.multiplyMV(resultVector, 0, temporaryMatrix.InvertMatrix(), 0, inputVector,0);
    resultVector[0]/=resultVector[3];
    resultVector[1]/=resultVector[3];
    resultVector[2]/=resultVector[3];

    inputVector = ..... // appropriate vector due to user-selection 

    axis = Vector.normalized(Vector.crossProduct(Vector.normalized(inputVector), Vector.normalized(resultVector)));
    degree = (float)Math.toDegrees(Math.acos(Vector.dot(Vector.normalized(inputVector), Vector.normalized(resultVector))));

我使用两个四元数进行旋转。每次用户选择一个动作时，都会发生一种轮换。这是代码：

    Quaternion currentRotation = new Quaternion();
    Quaternion temporaryRotation = new Quaternion();
    .
    .
    .
     currentRotation = (currentRotation).mulLeft(temporaryRotation.set(axis, degree));
     currentRotation.toMatrix(matrix);
     gl.glMatrixMode(GL10.GL_MODELVIEW);
     gl.glMultMatrixf(matrix, 0);

现在的问题是，它在第​​一次旋转时工作正常。不管第一次旋转。它运作良好，但是对于下一个旋转，它似乎得到了错误的轴和度。

例如，如果坐标系为

• X右（1,0,0）
• Y向上（0,1,0）
• Z-in（0,0,1）

然后第一次逆时针旋转X 90度（CCW）产生

• [X'-右（1,0,0）
• Y'-in（0,0,1）
• Z'-down（0，-1,0）

和绕Z轴逆时针旋转90度产生第二个

• X'-in（0,1,0）
• Y'-左（-1,0,0）
• Z'-下（0，-1,0）

但我希望

• X向上（0,1,0）
• Y-in（0,0,1）
• Z-右（1,0,0）

我认为问题在于resultVector（我使用的第二个向量，它从原点到视点）无法正确转换。有人知道如何将世界坐标转换为对象坐标吗？有谁知道当物体旋转时我们如何确定物体坐标？

Answer 1

昨天，我决定编写Rubic Cube拼图游戏，因为我过去尝试过的任何事情对我来说都是非常不舒服的，最终我有一些心情/时间自己编写了它。当我完成后，这里是我的见解：

1. Rubic多维数据集表示形式>>

   我不认为四元数是一个很好的选择。相反，我更喜欢：

   • 4x4 uniform transform matrices

   所以我最终得到了3*3*3=27变换矩阵的列表以及整个多维数据集旋转的一个附加矩阵。在开始状态下，所有子立方体均具有单位旋转部分，并且其原点设置为覆盖{ -1 , 0 ,+1 }的所有组合以填充整个Rubic Cube（每个子立方体网格的大小为1.0，并以(0,0,0)为中心）] >

   

   我的多维数据集在C ++代码中定义如下：

   reper cube[27]; // reper is transform matrix
   

2. GUI

我希望控制和查看尽可能地接近真实的事物。因此，可以通过鼠标单击目标子多维数据集（在area0或area1中）来控制旋转，然后从鼠标拖动的方向确定旋转的轴和旋转的方向。

从开始位置没有问题（因为即使您的代码也能很好地工作）。问题开始于下一个旋转（尤其是在更改旋转轴时），因为局部坐标系已经更改。全局视图旋转同样如此，因为它将使所有这些混乱。

3. 如何解决改变局部坐标系？

我提出了一个模糊的解决方案，在该解决方案中，我首先从每个坐标系中匹配了轴。要检测哪个轴，我只需对查询方向的点积与变换矩阵的所有轴进行比较，然后选择具有最高绝对点积的轴。该符号仅指示坐标系是否相反（意味着旋转应反向）。

在C ++

和OpenGL样式矩阵中，它看起来像这样：

void RubiCube::axises_unit(reper &rep,int &x,int &y,int &z,int &sx,int &sy,int &sz)
    {
    int i;
    double p[3],xyz[3][3],a,b;
    rep.axisx_get(xyz[0]);
    rep.axisy_get(xyz[1]);
    rep.axisz_get(xyz[2]);
    vector_ld(p,1.0,0.0,0.0); for (b=0.0,i=0;i<3;i++) { a=vector_mul(xyz[i],p); if (fabs(a)>=fabs(b)) { x=i; b=a; } } sx=+1; if (b<0) sx=-1;
    vector_ld(p,0.0,1.0,0.0); for (b=0.0,i=0;i<3;i++) { a=vector_mul(xyz[i],p); if (fabs(a)>=fabs(b)) { y=i; b=a; } } sy=+1; if (b<0) sy=-1;
    vector_ld(p,0.0,0.0,1.0); for (b=0.0,i=0;i<3;i++) { a=vector_mul(xyz[i],p); if (fabs(a)>=fabs(b)) { z=i; b=a; } } sz=+1; if (b<0) sz=-1;
    }
其中reper是包含正变换矩阵和逆变换矩阵的类。 get_axis仅在直接矩阵内部窥视并返回选定的轴方向单位向量。 vector_mul是点积，vector_ld只是用x,y,z坐标填充3D向量。 
同样，我得到了一个不与单位矩阵轴向对齐的全局立方体矩阵（由于旋转，所以视图看起来像上面的图像）然后我需要针对特殊矢量（初始视图矩阵值）进行此轴匹配我的情况是这样的：

void RubiCube::axises_obj(reper &rep,int &x,int &y,int &z,int &sx,int &sy,int &sz)
    {
    int i;
    double p[3],xyz[3][3],a,b;
    rep.axisx_get(xyz[0]);
    rep.axisy_get(xyz[1]);
    rep.axisz_get(xyz[2]);
    vector_ld(p,+0.707,-0.299,-0.641); for (b=0.0,i=0;i<3;i++) { a=vector_mul(xyz[i],p); if (fabs(a)>=fabs(b)) { x=i; b=a; } } sx=+1; if (b<0) sx=-1;
    vector_ld(p,-0.000,-0.906,+0.423); for (b=0.0,i=0;i<3;i++) { a=vector_mul(xyz[i],p); if (fabs(a)>=fabs(b)) { y=i; b=a; } } sy=+1; if (b<0) sy=-1;
    vector_ld(p,-0.707,-0.299,-0.641); for (b=0.0,i=0;i<3;i++) { a=vector_mul(xyz[i],p); if (fabs(a)>=fabs(b)) { z=i; b=a; } } sz=+1; if (b<0) sz=-1;
    }
两个函数都返回哪个轴是哪个x,y,z，以及与单位变换矩阵相比方向是否相反（sx，sy，sz）。 

4. 切片旋转

这是难题的核心。它简单地绕轴旋转切片。这是用来制作动画的，因此角度步长较小（我使用9度），但整个转弯必须总计90度，否则红魔方体会破裂。

void RubiCube::cube_rotate(int axis,int slice,double ang)
    {
    int j,k,a[3],s[3];
    double p[3],p0[3]={0.0,0.0,0.0},lang;
    reper *r;
    _redraw=true;
    for (k=0;k<27;k++)
        {
        r=&cube[k];
        // local axis,sign
        axises_unit(*r,a[0],a[1],a[2],s[0],s[1],s[2]);
        // lang is local signed angle change
        lang=ang; if (s[axis]<0) lang=-lang;
        // select slice
        r->gpos_get(p);
        j=round(p[axis]+1.0);
        if (j!=slice) continue;
        // rotate global position
        if (axis==0) vector_rotx(p0,p,+ang);
        if (axis==1) vector_roty(p0,p,-ang);
        if (axis==2) vector_rotz(p0,p,+ang);
        r->gpos_set(p);
        // rotate local cube orientation
        if (a[axis]==0) r->lrotx(-lang);
        if (a[axis]==1) r->lroty(-lang);
        if (a[axis]==2) r->lrotz(-lang);
        }
    }
reper::gpos_get将矩阵原点作为3D向量（点）返回，而reper::gpos_set基本设置新的矩阵位置。 vector_rotx(p0,p,a)将矢量p绕p0和轴x旋转角度a。 +/-符号仅与reper类的旋转匹配（我在某处有所不同）。 reper::lrotx绕其本地reper轴旋转x，有关更多信息，请参阅第一个链接。
如您所见，我将每个矩阵原点坐标直接用作拓扑来选择切片多维数据集。

这里您可以尝试我的演示： Win32+OpenGL Rubic Cube Demo

这里是一些转弯的gif动画：

[[Edit1]我向RubiCube添加了简单的求解器

为了实现求解器，我添加了从我的[[RubiCube内部表示中计算出的表面平面颜色图（在左侧...中间的正方形是我使用的侧面的名称和索引）。我还为求解器添加了内部命令que（右侧的轴和方向）：

每个命令由2个字符串表示：

edge slice  CW: R L U D F B
edge slice CCW: R'L'U'D'F'B'
mid  slice  CW: R0L0U0D0F0B0
whole cube  CW: RcLcUcDcFcBc

地图看起来像这样：
int map[6][3][3];

[map[side][u][v]包含侧面s，行u和列v的正方形的颜色。我实现了简单的7 steps solution（例如通过人工求解实际的多维数据集）：

输入状态（不是步骤）
1. 带有黄色中间的白色十字（黄色中间朝前）
2. 白色十字（白色中间朝向前面）
3. 白角（白边朝下）
4. 中间层（使用前三个命令）
5. 顶层黄色十字（使用第四个命令）
6. 重新排列十字，使边匹配（第5个命令），对角进行重新排序（第6个命令）
7. 定向顶层角以完成立方体（第七个命令）
8. Solver很简单，可以对字符串进行操作（未优化），因此它有点慢，但无论如何，完整的解决方案在我的设置上最多需要50ms。您可以在这里尝试升级后的演示：

Win32+OpenGL Rubic Cube Demo with solver
• 在解决时，可能仍然存在一些未定义的情况（由于错误或代码遗漏情况）。在这种情况下，应用程序挂起了粗略的挂起（尚未实现看门狗）。键在附带的文本文件中描述。

我做了轻量级的求解器（大约300行代码），所以找到的解决方案远非最佳。例如，代替测试4个角，我仅测试一个角，然后循环旋转立方体，从而导致不必要的转弯。它们中的一些后来被过滤掉了，但是平均人类（我的）解决方案最多旋转200转，而该求解器则返回最多300转（最糟糕的情况是直到现在我仍然发现）。

发生的情况是，当将此变换应用于模型（在您的情况下为旋转）时，也会旋转它的基本向量。可以将其视为好像您也将旋转坐标系一样，或者就像是从模型的第一人称视角看一样。您进行的每次转换都会影响下一个转换。

由于您通常希望保留自己的坐标系，因此您可能需要考虑在立方体周围移动相机，而不是旋转立方体。我相信您可以在API或网络上找到“ lookAt”方法。它应该采用3个向量：cameraPosition，lookAtPoint，upVector。通过这种方法，您可以将多维数据集定位到（0,0,0），这也是您的“ lookAtPoint”，第一个cameraPosition应该类似于（0,0，-1），第一个upVector应当等于（0,1,0）。现在开始运动（您可能只使用左/右和上/下作为输入）：要向上/向下（围绕X旋转），您需要执行以下操作：

originalDistance = (cameraPosition-objectPosition).lenght
leftVector = normalizedVector(crossProduct(camearPosition, upVector))//generaly cameraPosition-objectPosition
camearPosition = cameraPosition + upVector*inputScalar //inputScalar should be a small floating value
cameraPosition = normalizedVector(cameraPosition)*originalDistance //put camera to original distance from object
upVector = normalizedVector(crossProduct(cameraPosition, leftVector))//generaly cameraPosition-objectPosition

要向左/向右（围绕X旋转），请执行以下操作：
originalDistance = (cameraPosition-objectPosition).lenght
leftVector = normalizedVector(crossProduct(camearPosition, upVector))//generaly cameraPosition-objectPosition
camearPosition = cameraPosition + leftVector*inputScalar //inputScalar should be a small floating value
cameraPosition = normalizedVector(cameraPosition)*originalDistance //put camera to original distance from object
leftVector = normalizedVector(crossProduct(cameraPosition, upVector))//generaly cameraPosition-objectPosition
upVector = normalizedVector(crossProduct(cameraPosition, leftVector))//generaly cameraPosition-objectPosition

这通常应该可以解决问题。.（请告诉我我在努力编写时是否犯了一个错误）
关于旋转对象本身的方法，应该在对象自己的坐标系中找出四元数，然后围绕该四元数旋转它。如果您掌握一些数学技能，这也很容易。除此之外，您还可以只定义2个角度（X，Y）并通过输入直接更改它们，并使用（1,0,0，X）和（0,1,0，Y）的四元数，但是可能存在问题当Y为90度时采用这种方法。
我希望这会有所帮助。

Answer 2

发生的情况是，当将此变换应用于模型（在您的情况下为旋转）时，也会旋转它的基本向量。可以将其视为好像您也将旋转坐标系一样，或者就像是从模型的第一人称视角看一样。您进行的每次转换都会影响下一个转换。