哥德巴赫猜想练习（三）

Question

我的教授要求我做一个程序来测试哥德巴赫猜想。我想知道是否应该将 1 视为素数。这是我的代码，打印素数的第一个组合：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>

int main()
{
    int n, i, j, k, l;    
    char prime, prime1;
    do   //check if n is even and greater than 2
    {
        printf("Give me an even natural number greater than 2:\n\n>");
        scanf("%d", &n);
    }
    while (n % 2 != 0 && n >= 2);
    for (i = 1; i < n ; i++) 
    {                   
        prime = 1;     
        for (k = 2; k < i; k++)  
            if (i % k == 0)
                prime = 0;
        if (prime)
        {
            for (j = 1; j < n; j++)
            {
                prime1 = 1;
                for (l = 2; l < j; l++)
                    if (j % l == 0)
                        prime1 = 0;
                if (prime1)
                    if (i + j == n)
                    {
                        printf("\n\n%d and %d are the first two prime numbers that add up to %d.\n", i, j, n);
                        return 0;
                    }
            }
        }
    }
}

我查了网上，几乎每个人都说1不是素数。我应该怎么办？保持程序原样还是更改它以使其不将 1 视为素数？我该怎么做？ ：P

Answer 1

您可以像哥德巴赫那样将

1

视为素数，也可以不像更常见的用法那样考虑，这对于猜想几乎没有区别。

将

1

视为质数具有以下效果：

• 2

  有一个解决方案：

  1 + 1

  。

• 4

  的第一对是

  1 + 3

  而不是

  2 + 2

• 对于更高的偶数，如果该值为素数加一，则第一个解决方案可能涉及

  1

  ，但没有已知的大于2的偶数只能表示为

  p + 1

  。

请注意您的代码中存在问题：

• 您没有检查

  scanf()

  的返回值，因此输入不是数字的字符串将导致未定义的行为（第一次因为

  n

  未初始化）或无限循环，因为

  n

  不再被修改.

• 测试

  while (n % 2 != 0 && n >= 2);

  不正确：应该是：

  while (n <= 2 || n % 2 != 0);
  

• 第一个循环可以通过测试迭代一半的时间

  i <= n / 2

• 第二个循环可以通过测试进行更少的迭代

  k * k <= i

• 当你检测到

  i

  不是质数

时，你可以退出第二个循环

• 不需要第三次循环，你只需要测试

  n - i

  是否是素数

• 第二个主要测试也可以进行相同的改进，最好将其移至单独的功能。

• 您应该收到一条消息和

  return

  声明，说明您极有可能找到哥德巴赫猜想的反例;-)

这是一个改进版本：

#include <stdio.h>

#define PRIME_MASK ((1ULL <<  2) | (1ULL <<  3) | (1ULL <<  5) | (1ULL <<  7) |\
                    (1ULL << 11) | (1ULL << 13) | (1ULL << 17) | (1ULL << 19) | \
                    (1ULL << 23) | (1ULL << 29) | (1ULL << 31) | (1ULL << 37) | \
                    (1ULL << 41) | (1ULL << 43) | (1ULL << 47) | (1ULL << 53) | \
                    (1ULL << 59) | (1ULL << 61))

int isprime(unsigned long long n) {
    if (n <= 63)
        return (PRIME_MASK >> n) & 1;
    if (n % 2 == 0)
        return 0;
    for (unsigned long long k = 3; k * k <= n; k += 2) {
        if (n % k == 0)
            return 0;
    }
    return 1;
}

int main(void) {
    unsigned long long n, i;
    int r;

    for (;;) {
        printf("Give me an even natural number greater than 2:\n>");
        r = scanf("%llu", &n);
        if (r == 1) {
            if (n % 2 == 0 && n > 2)
                break;
        } else
        if (r == EOF) {  /* premature end of file */
            return 1;
        } else {
            scanf("%*[^\n]%*c");  /* flush pending line */
        }
    }
#ifdef ONE_IS_PRIME
    i = 1;    /* start this loop at 1 if you want to assume 1 is prime */
#else
    i = (n == 4) ? 2 : 3;
#endif
    for (; i <= n / 2; i += 2) {
        if (isprime(i) && isprime(n - i)) {
            printf("%llu = %llu + %llu\n", n, i, n - i);
            return 0;
        }
    }
    printf("Goldbach was wrong!\n"
           " %llu cannot be written as the sum of two primes\n", n);
    return 0;
}

Answer 2

你可以认为1是素数，因为哥德巴赫在给莱昂哈德·欧拉的信中也认为1是素数。但那是1被认为是素数的时候。后来它被放弃了，因此这是哥德巴赫的第三次修正猜想另外，由于今天我们认为 1 既不是素数也不是合数，即使你不认为 1 是素数，这个猜想仍然成立，得到了很好的验证4*10^18（重新验证最多4*10^17）。

就你和教授打交道而言，你最好问他想要什么。

Answer 3

我添加了 is_prime 测试。 这更容易阅读。

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
#include <stdbool.h>
// gcc -o test  gold_test.c -lm

bool is_prime(long n) {
   if (n <= 3) return n > 1;
   if ((n%6 != 1) && (n%6 != 5)) return false;
   long limit = sqrt(n);
   for (long i = 5; i<=limit; i+=6) 
       if (n%i == 0 || n%(i+2) == 0) return false; 
   return true;
}

int main()
{
   long n, i, j, k, l;    
   do   //check if n is even and greater than 2
   {
       printf("Give me an even natural number greater than 2:\n\n>");
       scanf("%ld", &n);
   }
   while (n % 2 != 0 || n < 4);
    
   if (n==4) 
      printf("\n\n%ld and %ld are the first two prime numbers that add up to %ld.\n", 2L, 2L, n);
   else 
      for (i = 3; i <= n/2; i+=2) 
      {                    
         if (is_prime(n-i) && is_prime(i)) {
            printf("\n\n%ld and %ld are the first two prime numbers that add up to %ld.\n", i, n-i, n);
            return 0;
         }
      }
}