为什么这个矩阵是奇异的？尝试创建我自己的对比矩阵但不明白错误

Question

我有六个条件。我们可以称它们为A、B、C、D、E、F。 我正在尝试在 R 中创建一个对比矩阵。我将在回归模型中使用这些对比。

#Compare A, B, C to D, E, F
contrast1 <- c(1/3, 1/3, 1/3,  -1/3, -1/3, -1/3)
#Next compare A and D to C and F.
contrast2 <- c(1/2, 0, -1/2, 1/2, 0, -1/2) 
#Next compare B and E to C and F
contrast3 <- c(0, 1/2, -1/2, 0, 1/2, -1/2) 
#Next compare A and D to B and E
contrast4 <- c(1/2, -1/2, 0, 1/2, -1/2, 0) 
#Create interaction
contrast.interaction <- contrast1 * contrast4

mat.temp <- rbind(constant=1/6, contrast1, contrast2, contrast3, contrast4, contrast.interaction)
mat.temp

这是矩阵的输出：

                          [,1]       [,2]       [,3]       [,4]       [,5]       [,6]
constant             0.1666667  0.1666667  0.1666667  0.1666667  0.1666667  0.1666667
contrast1            0.3333333  0.3333333  0.3333333 -0.3333333 -0.3333333 -0.3333333
contrast2            0.5000000  0.0000000 -0.5000000  0.5000000  0.0000000 -0.5000000
contrast3            0.0000000  0.5000000 -0.5000000  0.0000000  0.5000000 -0.5000000
contrast4            0.5000000 -0.5000000  0.0000000  0.5000000 -0.5000000  0.0000000
contrast.interaction 0.1666667 -0.1666667  0.0000000 -0.1666667  0.1666667  0.0000000

当我运行

solve()

时，如下所示：

mat <- solve(mat.temp)

我得到的错误是：

solve.default(mat.temp) 中的错误：Lapack 例程 dgesv：系统完全是奇异的：U[6,6] = 0

所以我知道它是单数，但我不明白如何/为什么？哪些对比导致了这个问题？

Answer 1

全部。这是列的线性组合，其总和为零向量：

v <- c(1, 1, -2, -1, -1, 2)
c(mat.temp %*% v)
## [1] 0 0 0 0 0 0

我是如何想到这一点的：

• run

  caret::findLinearCombos(mat.temp)

  （确定所有 6 列同时共线 - 即，没有子集本身共线）
• 使用

  eigen(mat.temp)

  。特别是如果

  ee <- eigen(mat.temp)

  那么

  v <- ee$vectors[,6]/sqrt(1/12)

  为我们提供了上面使用的线性组合（

  1/sqrt(12)

  并不是严格必要的，但使事情变得更漂亮）。

@G.Grothendieck 的评论：

如果列是 A、B、C、D、E、F，则 A+B-2C = D+E-2F，因此它们是线性相关的

是等价的（但要求你只盯着列来弄清楚，而不仅仅是计算......）