四阶非线性微分方程的稳定解

Question

我已经在python中使用bvp求解器解决了以下bvp问题。

d4y/dx4= 0.00033*V/(0.000001-y)^(2) , y(0)=y'(0)=y(1)=y'(1)=0 在上面的eqn中，“ V”是使用for循环进行了更改的参数。有趣的是，对于V> Vo，上述微分方程的解应该是不稳定的。对于V> Vo，bvp求解器仍然会产生一些错误的值。一旦出现这种不稳定性，如何使求解器停止计算？

Answer 1

对于归一化方程式（y和V的小数位数]

y'''' = c/(1-y)**2

我得到c=70.099305的临界值。对于非常小的c，解决方案同样很小，接近y(t)=c/24*(t*(1-t))**2。对于c接近临界值，网格细化集中在y=0.4附近的最大值。

c=70.099305

def f(t,u): return [u[1],u[2],u[3],c/(1-u[0])**2]
def bc(u0,u1): return [u0[0], u0[1], u1[0], u1[1]]

t = np.linspace(0,1,5);
u = np.zeros([4,len(t)])
res = solve_bvp(f,bc,t,u, tol=1e-4, max_nodes=5000)
print(res.message)

%matplotlib inline
if res.success:
    plt.figure(figsize=(10,5))
    t = np.linspace(0,1,502)
    plt.plot(t, c/24*(t*(1-t))**2,c='y', lw=3)
    plt.plot(t,res.sol(t)[0],'b')
    plt.plot(res.x,res.y[0],'xr')
    plt.grid(); plt.show()

蓝色-数值解，黄色-小c的近似值]]