当矩阵a是二维、矩阵b是三维时，如何理解matmul函数？

Question

a=np.arange(8).reshape(2,2,2)
b=np.arange(4).reshape(2,2)
print(np.matmul(a,b))

结果是：

[[[ 2  3]
  [ 6 11]]

 [[10 19]
  [14 27]]]

我不明白这个结果，有人可以解释一下吗？

Answer 1

简短回答：它将第二个 2d 矩阵“广播”到 3d 矩阵，然后执行“映射”，因此它将元素子矩阵映射到结果中的新子矩阵。

正如np.matmul

[numpy-doc]

上的文档所说：

numpy.matmul(a, b, out=None)

两个数组的矩阵乘积。

行为取决于以下方式的参数。

1. 如果两个参数都是二维的，它们会像传统矩阵一样相乘。
2. 如果任一参数是 N 维，N > 2，则将其视为驻留在最后两个索引中的矩阵堆栈并广播 相应地。
3. 如果第一个参数是一维的，则通过在其维度前添加 1 将其提升为矩阵。矩阵相乘后 删除前面的 1。
4. 如果第二个参数是一维的，则通过在其维度上附加 1 将其提升为矩阵。矩阵相乘后 删除附加 1。

所以这里第二条适用。所以首先第二个矩阵也被“广播”到 3d 变体，这意味着我们乘以：

array([[[0, 1],
        [2, 3]],

       [[4, 5],
        [6, 7]]])

与：

array([[[0, 1],
        [2, 3]],

       [[0, 1],
        [2, 3]]])

我们将它们视为堆叠矩阵。所以首先我们乘以：

array([[0, 1],      array([[0, 1],
       [2, 3]])  x        [2, 3]])

这给了我们：

array([[ 2,  3],
       [ 6, 11]])

然后是元素第二个子矩阵：

array([[4, 5],      array([[0, 1],
       [6, 7]])  x        [2, 3]])

这给了我们：

array([[10, 19],
       [14, 27]])

因此，我们将它们叠加到结果中，并得到：

>>> np.matmul(a, b)
array([[[ 2,  3],
        [ 6, 11]],

       [[10, 19],
        [14, 27]]])

尽管行为已被完美定义，但最好谨慎使用此功能，因为对于 3d 矩阵与 2d 矩阵的“矩阵乘积”可能是什么样子，还有其他“有意义的”定义，因此不使用这些定义在这里。

Answer 2

您可以更明确地将乘法视为求和。因此，如果

a

的尺寸为

(i, j, k)

并且

b

的尺寸为

(k, l)

，那么结果的尺寸将为

(i, j, l)

。

在代码中可以这样写（非常明确）：

def matmul(a, b):
  dim1, dim2, dim3 = a.shape
  dim4 = b.shape[1]
  c = np.zeros(shape=(dim1, dim2, dim4))
  for i in range(dim1):
    for j in range(dim2):
      for l in range(dim4):
        c[i, j, l] = sum(a[i, j, k] * b[k, l] for k in range(dim3))
  return c

如果您尝试打印此

matmul()

函数的结果，它将与 numpy 函数相同。

注意：这个函数效率非常低，而且只有当a有3维而b有2维时才有效，但它可以很容易地推广。