使用 PCA 重建原始观察结果

Question

我使用

prcomp

函数对 4 个变量运行 PCA。在 PCA 之前，所有变量均已归一化，平均值为零，标准差为 1（z 分数）。

prc <- prcomp(adpt.pca)

结果如下：

Standard deviations (1, .., p=4):
[1] 1.4053803 1.0682221 0.8730050 0.3488124

Rotation (n x k) = (4 x 4):
                 PC1       PC2         PC3         PC4
income    -0.6183326 0.3817256 -0.18174425 -0.66250989
ndvi       0.1800165 0.7300110  0.65526401  0.07284918
cs_dist    0.3476116 0.5522182 -0.73234784  0.19464803
education -0.6814873 0.1281581 -0.03556312  0.71964281

然后我选择了特征值 > 1 的 PC，并执行了

varimax

旋转，如下所示：

varimax2 <- varimax(prc$rotation[, 1:2])

最大方差旋转的结果：

$loadings

Loadings:
          PC1    PC2   
income    -0.716  0.122
ndvi      -0.107  0.744
cs_dist    0.115  0.642
education -0.680 -0.137

                PC1  PC2
SS loadings    1.00 1.00
Proportion Var 0.25 0.25
Cumulative Var 0.25 0.50

$rotmat
           [,1]      [,2]
[1,]  0.9269670 0.3751429
[2,] -0.3751429 0.9269670

如何通过方差对这些旋转的 PC 分数进行加权，以重建原始观察结果？

完整代码：

library(data.table)
library(dplyr)

wd <- "path/"

mydt <- read.table(paste0(wd, "mydt.csv"), sep = ",", header = TRUE)

# glimpse(mydt)

# Z-score normalize
adpt.pca <- as.data.frame(scale(mydt), center = TRUE, scale = TRUE)

prc <- prcomp(adpt.pca)

varimax2 <- varimax(prc$rotation[, 1:2])

下面是 20 行的原始数据集样本（Z 分数标准化之前）：

dput(mydt)
structure(list(income = c(0.0001063, 0.000106, 6.72e-05, 7.97e-05, 
0.0001197, 4.09e-05, 5.17e-05, 0.0001092, 8.62e-05, 7.27e-05, 
0.0001034, 0.0001159, 7.24e-05, 9.17e-05, 8.06e-05, 0.0001049, 
8.15e-05, 9.05e-05, 0.0001063, 5.99e-05), ndvi = c(0.434779405593872, 
0.519024193286896, 0.484442293643951, 0.358367592096329, 0.613705396652222, 
0.508738815784454, 0.705485105514526, 0.454894632101059, 0.396738857030869, 
0.408085465431213, 0.425091296434402, 0.360570818185806, 0.455742985010147, 
0.44114676117897, 0.498669385910034, 0.404618799686432, 0.51068776845932, 
0.295410215854645, 0.606453955173492, 0.46584877371788), cs_dist = c(1515.64929199219, 
3037.51879882812, 2663.20043945312, 1761.39184570312, 344.697448730469, 
252.047805786133, 5528.3486328125, 2387.2802734375, 2771.0546875, 
877.851745605469, 1342.23034667969, 3318.9130859375, 1075.06188964844, 
5190.70166015625, 739.960021972656, 4005.1572265625, 684.494079589844, 
426.935241699219, 1222.70263671875, 2597.5166015625), education = c(0.0001015, 
9.71e-05, 6.14e-05, 8.47e-05, 9.97e-05, 5.29e-05, 4.74e-05, 0.0001464, 
0.0001042, 7.53e-05, 0.0001143, 9.4e-05, 6.57e-05, 5.52e-05, 
7.98e-05, 9.5e-05, 6.98e-05, 9.64e-05, 0.0001063, 6.43e-05)), row.names = c(NA, 
-20L), class = c("data.table", "data.frame"), na.action = structure(c(`2402` = 2174L, 
`2404` = 2176L), class = "omit"), .internal.selfref = <pointer: 0x0000023dc7801200>)

注意： 我显示的结果是使用我的完整数据集而不是我共享的 20 行时的结果。如果需要，我可以共享整个数据集。

R 4.4.0、RStudio 2024.04.2 内部版本 764、Windows 11。

Answer 1

这个问题有点让人困惑。这就是为什么也许还没有人解决这个问题。请注意，

varimax

适用于 FA，而不适用于 PCA。

要构建观测值，请直接使用分数和计算的主成分。这里不需要最大方差：

prc <- prcomp(mydt)

使用所有电脑进行重建：

reconstruct <- data.frame(t(t(prc$x %*% t(prc$rotation)) + prc$center))
all.equal(reconstruct, mydt, check.attributes = FALSE)
[1] TRUE

---

使用 PC 的子集进行重建：

n <- which(prc$sdev>1)
reconstruct2 <- data.frame(t(t(prc$x[,n] %*% t(prc$rotation[,n])) + prc$center))