float8、float16、float32、float64 和 float128 可以包含多少位？

Question

Numpy 的

dtype

文档仅显示每种浮点类型的“x位指数，y位尾数”，但我无法将其转换为小数点之前/之后到底有多少位数字。有没有简单的公式/表格可以查一下？

Answer 1

这并不像通常想象的那么简单。对于尾数的准确性，一般有两个值：

1. 给定一个十进制表示的值，如果从十进制转换为选定的二进制格式并返回（使用默认舍入），可以保证保留多少个十进制数字。

2. 给定一个二进制格式的值，如果将该值转换为十进制格式并返回到原始二进制格式（同样，使用默认舍入），需要多少个十进制数字才能保持原始值不变。

在这两种情况下，十进制表示形式都被视为独立于指数，没有前导零和尾随零（例如，0.0123e4、1.23e2、1.2300e2、123、123.0、123000.000e-3 都是 3 位数字）。

对于 32 位二进制浮点数，这两个大小分别是 6 和 9 位十进制数字。在 C

<float.h>

; 中，它们是

FLT_DIG

和

FLT_DECIMAL_DIG

。 （这很奇怪，32 位浮点数在所有数字中保留了 7 位小数，但也有例外。） 在 C++ 中，分别查看

std::numeric_limits<float>::digits10

和

std::numeric_limits<float>::max_digits10

。

对于 64 位二进制浮点数，分别为 15 和 17（分别为

DBL_DIG

和

DBL_DECIMAL_DIG

；和

std::numeric_limits<double>::{digits10, max_digits10}

）。

它们的通用公式（thx2 @MarkDickinson）

• ${format}_DIG

  （数字10）：

  floor((p-1)*log10(2))

• ${format}_DECIMAL_DIG

  （最大位数10）：

  ceil(1+p*log10(2))

其中

p

是尾数中的位数（包括标准化 IEEE754 情况的隐藏位数）。

此外，在 C++ numeric Limits 页面上进行一些数学解释的评论：

标准 32 位 IEEE 754 浮点类型有 24 位小数部分（写入 23 位，隐含 1 位），这可能表明它可以表示 7 位小数（24 * std::log10(2) 为 7.22） ，但相对舍入误差不均匀，并且某些具有 7 个小数位的浮点值无法在转换为 32 位浮点数并返回后继续存在：最小的正例是 8.589973e9，在往返后变为 8.589974e9。这些舍入误差在表示中不能超过一位，digits10 计算为 (24-1)*std::log10(2)，即 6.92。向下舍入结果为值 6。

在注释中查找 16 位和 128 位浮点数的值（但请参阅下文了解实际的 128 位浮点数）。

对于指数，这更简单，因为每个边界值（标准化的最小值、非标准化的最小值、表示的最大值）都是精确的，并且可以轻松获取和打印。

@PaulPanzer 建议

numpy.finfo

。它给出了这些值中的第一个（{format}_DIG）；也许这就是您搜索的东西：

>>> numpy.finfo(numpy.float16).precision
3
>>> numpy.finfo(numpy.float32).precision
6
>>> numpy.finfo(numpy.float64).precision
15
>>> numpy.finfo(numpy.float128).precision
18

但是，在大多数系统上（我的系统是 x86-84 上的 Ubuntu 18.04），该值对于 float128 来说是令人困惑的；它实际上适用于具有 64 位有效数的 80 位 x86“扩展”浮点数；真正的 IEEE754 float128 有 112 个有效位，因此实际值约为 33，但 numpy 在此名称下提供了另一种类型。详情请参见这里：一般来说，float128是numpy中的一个错觉。

UPD3：您提到

float8

- IEEE754 集中没有这种类型。人们可以想象这种类型用于某些完全特定的目的，但其范围对于任何通用用途来说都太窄了。

Answer 2

为了保持简单。

一般随着数值大小的增大或减小，精度的小数位数也分别增大或减小

一般来说，

Data-Type | Precision
----------------------
float16   | 3 to 4
float32   | 6 to 9
float64   | 15 to 17
float128  | 18 to 34

如果你明白了别忘了给答案点赞

按位属性：

float16

：1 个符号位，5 个指数位，10 位有效数（小数部分）。

float32

：1 个符号位、8 个指数位和 23 位有效数（小数部分）。

float64

：1 个符号位、11 个指数位和 52 个小数位。

float128

：1 个符号位、15 个指数位和 112 个小数位。