在Python中计算雅可比矩阵

Question

import numpy as np


a = np.array([[1,2,3],
              [4,5,6],
              [7,8,9]])


b = np.array([[1,2,3]]).T

c = a.dot(b) #function

jacobian = a # as partial derivative of c w.r.t to b is a.

我正在阅读jacobian Matrix，尝试构建一个，从我到目前为止所读到的，这个python代码应该被视为jacobian。我明白了吗？

Answer 1

您可以使用哈佛autograd库（link），其中grad和jacobian将函数作为他们的参数：

import autograd.numpy as np
from autograd import grad, jacobian

x = np.array([5,3], dtype=float)

def cost(x):
    return x[0]**2 / x[1] - np.log(x[1])

gradient_cost = grad(cost)
jacobian_cost = jacobian(cost)

gradient_cost(x)
jacobian_cost(np.array([x,x,x]))

否则，您可以使用jacobian中可用于矩阵的sympy方法：

from sympy import sin, cos, Matrix
from sympy.abc import rho, phi

X = Matrix([rho*cos(phi), rho*sin(phi), rho**2])
Y = Matrix([rho, phi])

X.jacobian(Y)

此外，您可能也有兴趣看到这个低级变体（link）。

Answer 2

雅可比行列式仅为向量值函数定义。你不能使用填充常量的数组来计算雅可比矩阵;你必须知道基础函数及其偏导数，或者这些函数的数值近似。当你考虑常数（相对于某些东西）的（部分）导数为0时，这是显而易见的。

在Python中，您可以使用符号数学模块（如SymPy或SymEngine）来计算函数的雅可比行列式。以下是维基百科示例的简单演示：

使用SymEngine模块：

Python 2.7.11 (v2.7.11:6d1b6a68f775, Dec  5 2015, 20:40:30) [MSC v.1500 64 bit (AMD64)] on win32
Type "help", "copyright", "credits" or "license" for more information.
>>>
>>> import symengine
>>>
>>>
>>> vars = symengine.symbols('x y') # Define x and y variables
>>> f = symengine.sympify(['y*x**2', '5*x + sin(y)']) # Define function
>>> J = symengine.zeros(len(f),len(vars)) # Initialise Jacobian matrix
>>>
>>> # Fill Jacobian matrix with entries
... for i, fi in enumerate(f):
...     for j, s in enumerate(vars):
...         J[i,j] = symengine.diff(fi, s)
...
>>> print J
[2*x*y, x**2]
[5, cos(y)]
>>>
>>> print symengine.Matrix.det(J)
2*x*y*cos(y) - 5*x**2

Answer 3

在python 3中，你可以试试sympy包：

import sympy as sym

def Jacobian(v_str, f_list):
    vars = sym.symbols(v_str)
    f = sym.sympify(f_list)
    J = sym.zeros(len(f),len(vars))
    for i, fi in enumerate(f):
        for j, s in enumerate(vars):
            J[i,j] = sym.diff(fi, s)
    return J

Jacobian('u1 u2', ['2*u1 + 3*u2','2*u1 - 3*u2'])

这给出了：

Matrix([[2,  3],[2, -3]])

Answer 4

这是一个矢量函数f(x)的mathamatical Jacobian的python实现，它被假定为返回1-D numpy数组。

import numpy as np

def J(f, x, dx=10^-8):
    n = len(x)
    func = f(x)
    jac = np.zeros((n, n))
    for j in range(n): #through columns to allow for vector addition
        Dxj = (abs(x[j])*dx if x[j] != 0 else dx)
        x_plus = [(xi if k != j else xi+Dxj) for k, xi in enumerate(x)]
        jac[:, j] = (f(x_plus)-func)/Dxj
    return jac

建议使dx~10 ^ -8。