我有n个元素。为了举个例子，让我们说，7个元素，1234567。我知道有7个！ =这些7个元素可能有5040个排列。
我想要一个包含两个函数的快速算法：
f（number）将0到5039之间的数字映射到唯一的排列，并且
f'（置换）将置换映射回其生成的数字。
我不关心数字和排列之间的对应关系，只要每个排列都有自己唯一的数字。
所以，举个例子，我可能会在哪里有功能
f(0) = '1234567'
f'('1234567') = 0
想到的最快的算法是枚举所有排列并在两个方向上创建查找表，这样，一旦创建表，f（0）将是O（1）并且f（'1234567'）将是查找字符串。然而，这是内存饥饿，特别是当n变大时。
任何人都可以提出另一种算法，它可以快速工作，没有内存缺点吗？
要描述n个元素的排列，您会看到对于第一个元素结束的位置，您有n种可能性，因此您可以使用0到n-1之间的数字来描述它。对于下一个元素结束的位置，您将有n-1个剩余的可能性，因此您可以使用0到n-2之间的数字来描述它。 等等，直到你有n个数字。
作为n = 5的一个例子，考虑将abcde带到caebd的排列。
a，第一个元素，最终在第二个位置，所以我们为它指定索引1。b最终位于第四个位置，这将是第3个位置，但它是剩下的第三个位置，因此我们将其指定为2。c在第一个剩下的位置结束，该位置始终为0。d最后剩余的位置，（仅剩下两个位置）是1。e最终位于唯一的剩余位置，指数为0。所以我们有索引序列{1,2,0,1,0}。
现在您知道例如二进制数，'xyz'表示z + 2y + 4x。对于十进制数， 这是z + 10y + 100x。每个数字乘以一些权重，并将结果相加。权重中的明显模式当然是权重是w = b ^ k，其中b是数字的基数，k是数字的索引。 （我将始终计算右边的数字，从最右边的数字开始在索引0处。同样，当我谈到'第一个'数字时，我指的是最右边的数字。）
数字的权重遵循此模式的原因是，从0到k的数字可以表示的最高数字必须正好比仅使用数字k + 1表示的最低数字低1。在二进制中，0111必须小于1000.在十进制中，099999必须低于100000。
编码到变量库 后续数字之间的间距恰好为1是重要的规则。意识到这一点，我们可以用变量基数表示我们的索引序列。每个数字的基数是该数字的不同可能性的数量。对于十进制，每个数字有10种可能性，对于我们的系统，最右边的数字有1种可能性，最左边的数字有n种可能性。但由于最右边的数字（我们序列中的最后一个数字）始终为0，我们将其遗漏。这意味着我们留下了2到n的基数。通常，第k个数字将具有基数b [k] = k + 2.数字k允许的最高值是h [k] = b [k] -1 = k + 1。
我们关于数字权重w [k]的规则要求h [i] * w [i]之和，其中i从i = 0变为i = k，等于1 * w [k + 1]。反复陈述，w [k + 1] = w [k] + h [k] * w [k] = w [k] *（h [k] + 1）。第一个权重w [0]应该始终为1.从那里开始，我们有以下值：
k h[k] w[k]
0 1 1
1 2 2
2 3 6
3 4 24
... ... ...
n-1 n n!
（一般关系w [k-1] = k！很容易通过归纳证明。）
我们从转换序列得到的数字将是s [k] * w [k]的总和，其中k从0到n-1。这里s [k]是序列的第k个（最右边，从0开始）元素。举一个例子，取我们的{1,2,0,1,0}，如前所述剥去最右边的元素：{1,2,0,1}。我们的总和是1 * 1 + 0 * 2 + 2 * 6 + 1 * 24 = 37。
请注意，如果我们为每个索引取最大位置，我们将有{4,3,2,1,0}，并且转换为119.由于我们的数字编码中的权重被选中以便我们不会跳过任何数字，所有数字0到119都有效。其中正好有120个，这是n！对于我们的例子中的n = 5，恰好是不同排列的数量。因此，您可以看到我们的编码数字完全指定了所有可能的排列。
从变量基数解码 解码类似于转换为二进制或十进制。常见的算法是这样的：
int number = 42;
int base = 2;
int[] bits = new int[n];
for (int k = 0; k < bits.Length; k++)
{
bits[k] = number % base;
number = number / base;
}
对于我们的可变基数：
int n = 5;
int number = 37;
int[] sequence = new int[n - 1];
int base = 2;
for (int k = 0; k < sequence.Length; k++)
{
sequence[k] = number % base;
number = number / base;
base++; // b[k+1] = b[k] + 1
}
这正确地将我们的37解码回{1,2,0,1}（在这个代码示例中sequence将是{1, 0, 2, 1}，但无论如何......只要你正确编制索引）。我们只需要在右端添加0（记住最后一个元素总是只有一个可能的新位置）来恢复原始序列{1,2,0,1,0}。
使用索引序列置换列表 您可以使用以下算法根据特定索引序列置换列表。不幸的是，这是一个O（n²）算法。
int n = 5;
int[] sequence = new int[] { 1, 2, 0, 1, 0 };
char[] list = new char[] { 'a', 'b', 'c', 'd', 'e' };
char[] permuted = new char[n];
bool[] set = new bool[n];
for (int i = 0; i < n; i++)
{
int s = sequence[i];
int remainingPosition = 0;
int index;
// Find the s'th position in the permuted list that has not been set yet.
for (index = 0; index < n; index++)
{
if (!set[index])
{
if (remainingPosition == s)
break;
remainingPosition++;
}
}
permuted[index] = list[i];
set[index] = true;
}
排列的常见表示
通常，您不会像我们所做的那样直观地表示排列，而只是通过应用排列后每个元素的绝对位置。我们对abcde到caebd的例子{1,2,0,1,0}通常由{1,3,0,4,2}表示。从0到4（或通常，0到n-1）的每个索引在该表示中恰好出现一次。
以这种形式应用排列很容易：
int[] permutation = new int[] { 1, 3, 0, 4, 2 };
char[] list = new char[] { 'a', 'b', 'c', 'd', 'e' };
char[] permuted = new char[n];
for (int i = 0; i < n; i++)
{
permuted[permutation[i]] = list[i];
}
倒置非常相似：
for (int i = 0; i < n; i++)
{
list[i] = permuted[permutation[i]];
}
从我们的表示转换为共同表示 请注意，如果我们使用我们的算法使用我们的索引序列置换列表，并将其应用于身份置换{0,1,2，...，n-1}，我们得到逆置换，以常见形式表示。 （在我们的例子中{2,0,4,1,3}）。
为了得到非倒置的前置，我们应用我刚刚展示的置换算法：
int[] identity = new int[] { 0, 1, 2, 3, 4 };
int[] inverted = { 2, 0, 4, 1, 3 };
int[] normal = new int[n];
for (int i = 0; i < n; i++)
{
normal[identity[i]] = list[i];
}
或者您可以通过使用逆置换算法直接应用置换：
char[] list = new char[] { 'a', 'b', 'c', 'd', 'e' };
char[] permuted = new char[n];
int[] inverted = { 2, 0, 4, 1, 3 };
for (int i = 0; i < n; i++)
{
permuted[i] = list[inverted[i]];
}
注意，所有用于处理常见形式的排列的算法都是O（n），而在我们的形式中应用置换是O（n²）。如果需要多次应用置换，请先将其转换为通用表示。
有一本关于此的书。对不起，但我不记得它的名字（很可能你会发现它来自维基百科）。但无论如何我写了一个枚举系统的python实现：http://kks.cabal.fi/Kombinaattori其中一些是芬兰语，但只是复制代码和名称变量......
一个相关的问题是计算逆置换，这是一种置换，当只有置换数组已知时，置换将把置换的向量恢复到原始的顺序。这是O（n）代码（在PHP中）：
// Compute the inverse of a permutation
function GetInvPerm($Perm)
{
$n=count($Perm);
$InvPerm=[];
for ($i=0; $i<$n; ++$i)
$InvPerm[$Perm[$i]]=$i;
return $InvPerm;
} // GetInvPerm
David Spector Springtime软件
我有这个确切的问题，并认为我会提供我的Python解决方案。它是O（n ^ 2）。
import copy
def permute(string, num):
''' generates a permutation '''
def build_s(factoradic): # Build string from factoradic in list form
string0 = copy.copy(string)
n = []
for i in range(len(factoradic)):
n.append(string0[factoradic[i]])
del string0[factoradic[i]]
return n
f = len(string)
factoradic = []
while(f != 0): # Generate factoradic number list
factoradic.append(num % f)
num = (num - factoradic[-1])//f
f -= 1
return build_s(factoradic)
s = set()
# Print 120 permutations of this string
for i in range(120):
m = permute(list('abcde'), i)
s.add(''.join(m))
print(len(s)) # Check that we have 120 unique permutations
这很直接;在生成数字的事实表示之后，我只是从字符串中选择并删除字符。从字符串中删除是为什么这是O（n ^ 2）解决方案。
Antoine的解决方案更适合性能。
我找到了一个O（n）算法，这里有一个简短的解释http://antoinecomeau.blogspot.ca/2014/07/mapping-between-permutations-and.html
public static int[] perm(int n, int k)
{
int i, ind, m=k;
int[] permuted = new int[n];
int[] elems = new int[n];
for(i=0;i<n;i++) elems[i]=i;
for(i=0;i<n;i++)
{
ind=m%(n-i);
m=m/(n-i);
permuted[i]=elems[ind];
elems[ind]=elems[n-i-1];
}
return permuted;
}
public static int inv(int[] perm)
{
int i, k=0, m=1;
int n=perm.length;
int[] pos = new int[n];
int[] elems = new int[n];
for(i=0;i<n;i++) {pos[i]=i; elems[i]=i;}
for(i=0;i<n-1;i++)
{
k+=m*pos[perm[i]];
m=m*(n-i);
pos[elems[n-i-1]]=pos[perm[i]];
elems[pos[perm[i]]]=elems[n-i-1];
}
return k;
}
复杂性可以降低到n * log（n），参见fxtbook的第10.1.1节（“Lehmer代码（反演表）”，第2332页）：http://www.jjj.de/fxt/#fxtbook跳到第10.1.1.1节（“计算大”数组“p.235”用于快速方法。 （GPLed，C ++）代码位于同一网页上。
每个元素可以位于七个位置之一。要描述一个元素的位置，您需要三位。这意味着您可以将所有元素的位置存储在32位值中。这远非效率，因为这种表示甚至允许所有元素处于相同的位置，但我相信位掩码应该相当快。
但是，超过8个职位你需要更多的东西。
这恰好是J中的内置函数：
A. 1 2 3 4 5 6 7
0
0 A. 1 2 3 4 5 6 7
1 2 3 4 5 6 7
?!7
5011
5011 A. 1 2 3 4 5 6 7
7 6 4 5 1 3 2
A. 7 6 4 5 1 3 2
5011
问题解决了。但是，我不确定这些年后你还需要解决方案。大声笑，我刚刚加入这个网站，所以...检查我的Java排列类。您可以基于索引来获取符号排列，或者给出符号排列然后获取索引。
这是我的预言班
/**
****************************************************************************************************************
* Copyright 2015 Fred Pang [email protected]
****************************************************************************************************************
* A complete list of Permutation base on an index.
* Algorithm is invented and implemented by Fred Pang [email protected]
* Created by Fred Pang on 18/11/2015.
****************************************************************************************************************
* LOL this is my first Java project. Therefore, my code is very much like C/C++. The coding itself is not
* very professional. but...
*
* This Permutation Class can be use to generate a complete list of all different permutation of a set of symbols.
* nPr will be n!/(n-r)!
* the user can input n = the number of items,
* r = the number of slots for the items,
* provided n >= r
* and a string of single character symbols
*
* the program will generate all possible permutation for the condition.
*
* Say if n = 5, r = 3, and the string is "12345", it will generate sll 60 different permutation of the set
* of 3 character strings.
*
* The algorithm I used is base on a bin slot.
* Just like a human or simply myself to generate a permutation.
*
* if there are 5 symbols to chose from, I'll have 5 bin slot to indicate which symbol is taken.
*
* Note that, once the Permutation object is initialized, or after the constructor is called, the permutation
* table and all entries are defined, including an index.
*
* eg. if pass in value is 5 chose 3, and say the symbol string is "12345"
* then all permutation table is logically defined (not physically to save memory).
* It will be a table as follows
* index output
* 0 123
* 1 124
* 2 125
* 3 132
* 4 134
* 5 135
* 6 143
* 7 145
* : :
* 58 542
* 59 543
*
* all you need to do is call the "String PermGetString(int iIndex)" or the "int[] PermGetIntArray(int iIndex)"
* function or method with an increasing iIndex, starting from 0 to getiMaxIndex() - 1. It will return the string
* or the integer array corresponding to the index.
*
* Also notice that in the input string is "12345" of position 01234, and the output is always in accenting order
* this is how the permutation is generated.
*
* ***************************************************************************************************************
* ==== W a r n i n g ====
* ***************************************************************************************************************
*
* There is very limited error checking in this class
*
* Especially the int PermGetIndex(int[] iInputArray) method
* if the input integer array contains invalid index, it WILL crash the system
*
* the other is the string of symbol pass in when the object is created, not sure what will happen if the
* string is invalid.
* ***************************************************************************************************************
*
*/
public class Permutation
{
private boolean bGoodToGo = false; // object status
private boolean bNoSymbol = true;
private BinSlot slot; // a bin slot of size n (input)
private int nTotal; // n number for permutation
private int rChose; // r position to chose
private String sSymbol; // character string for symbol of each choice
private String sOutStr;
private int iMaxIndex; // maximum index allowed in the Get index function
private int[] iOutPosition; // output array
private int[] iDivisorArray; // array to do calculation
public Permutation(int inCount, int irCount, String symbol)
{
if (inCount >= irCount)
{
// save all input values passed in
this.nTotal = inCount;
this.rChose = irCount;
this.sSymbol = symbol;
// some error checking
if (inCount < irCount || irCount <= 0)
return; // do nothing will not set the bGoodToGo flag
if (this.sSymbol.length() >= inCount)
{
bNoSymbol = false;
}
// allocate output storage
this.iOutPosition = new int[this.rChose];
// initialize the bin slot with the right size
this.slot = new BinSlot(this.nTotal);
// allocate and initialize divid array
this.iDivisorArray = new int[this.rChose];
// calculate default values base on n & r
this.iMaxIndex = CalPremFormula(this.nTotal, this.rChose);
int i;
int j = this.nTotal - 1;
int k = this.rChose - 1;
for (i = 0; i < this.rChose; i++)
{
this.iDivisorArray[i] = CalPremFormula(j--, k--);
}
bGoodToGo = true; // we are ready to go
}
}
public String PermGetString(int iIndex)
{
if (!this.bGoodToGo) return "Error: Object not initialized Correctly";
if (this.bNoSymbol) return "Error: Invalid symbol string";
if (!this.PermEvaluate(iIndex)) return "Invalid Index";
sOutStr = "";
// convert string back to String output
for (int i = 0; i < this.rChose; i++)
{
String sTempStr = this.sSymbol.substring(this.iOutPosition[i], iOutPosition[i] + 1);
this.sOutStr = this.sOutStr.concat(sTempStr);
}
return this.sOutStr;
}
public int[] PermGetIntArray(int iIndex)
{
if (!this.bGoodToGo) return null;
if (!this.PermEvaluate(iIndex)) return null ;
return this.iOutPosition;
}
// given an int array, and get the index back.
//
// ====== W A R N I N G ======
//
// there is no error check in the array that pass in
// if any invalid value in the input array, it can cause system crash or other unexpected result
//
// function pass in an int array generated by the PermGetIntArray() method
// then return the index value.
//
// this is the reverse of the PermGetIntArray()
//
public int PermGetIndex(int[] iInputArray)
{
if (!this.bGoodToGo) return -1;
return PermDoReverse(iInputArray);
}
public int getiMaxIndex() {
return iMaxIndex;
}
// function to evaluate nPr = n!/(n-r)!
public int CalPremFormula(int n, int r)
{
int j = n;
int k = 1;
for (int i = 0; i < r; i++, j--)
{
k *= j;
}
return k;
}
// PermEvaluate function (method) base on an index input, evaluate the correspond permuted symbol location
// then output it to the iOutPosition array.
//
// In the iOutPosition[], each array element corresponding to the symbol location in the input string symbol.
// from location 0 to length of string - 1.
private boolean PermEvaluate(int iIndex)
{
int iCurrentIndex;
int iCurrentRemainder;
int iCurrentValue = iIndex;
int iCurrentOutSlot;
int iLoopCount;
if (iIndex >= iMaxIndex)
return false;
this.slot.binReset(); // clear bin content
iLoopCount = 0;
do {
// evaluate the table position
iCurrentIndex = iCurrentValue / this.iDivisorArray[iLoopCount];
iCurrentRemainder = iCurrentValue % this.iDivisorArray[iLoopCount];
iCurrentOutSlot = this.slot.FindFreeBin(iCurrentIndex); // find an available slot
if (iCurrentOutSlot >= 0)
this.iOutPosition[iLoopCount] = iCurrentOutSlot;
else return false; // fail to find a slot, quit now
this.slot.setStatus(iCurrentOutSlot); // set the slot to be taken
iCurrentValue = iCurrentRemainder; // set new value for current value.
iLoopCount++; // increase counter
} while (iLoopCount < this.rChose);
// the output is ready in iOutPosition[]
return true;
}
//
// this function is doing the reverse of the permutation
// the input is a permutation and will find the correspond index value for that entry
// which is doing the opposit of the PermEvaluate() method
//
private int PermDoReverse(int[] iInputArray)
{
int iReturnValue = 0;
int iLoopIndex;
int iCurrentValue;
int iBinLocation;
this.slot.binReset(); // clear bin content
for (iLoopIndex = 0; iLoopIndex < this.rChose; iLoopIndex++)
{
iCurrentValue = iInputArray[iLoopIndex];
iBinLocation = this.slot.BinCountFree(iCurrentValue);
this.slot.setStatus(iCurrentValue); // set the slot to be taken
iReturnValue = iReturnValue + iBinLocation * this.iDivisorArray[iLoopIndex];
}
return iReturnValue;
}
/*******************************************************************************************************************
*******************************************************************************************************************
* Created by Fred on 18/11/2015. [email protected]
*
* *****************************************************************************************************************
*/
private static class BinSlot
{
private int iBinSize; // size of array
private short[] eStatus; // the status array must have length iBinSize
private BinSlot(int iBinSize)
{
this.iBinSize = iBinSize; // save bin size
this.eStatus = new short[iBinSize]; // llocate status array
}
// reset the bin content. no symbol is in use
private void binReset()
{
// reset the bin's content
for (int i = 0; i < this.iBinSize; i++) this.eStatus[i] = 0;
}
// set the bin position as taken or the number is already used, cannot be use again.
private void setStatus(int iIndex) { this.eStatus[iIndex]= 1; }
//
// to search for the iIndex th unused symbol
// this is important to search through the iindex th symbol
// because this is how the table is setup. (or the remainder means)
// note: iIndex is the remainder of the calculation
//
// for example:
// in a 5 choose 3 permutation symbols "12345",
// the index 7 item (count starting from 0) element is "1 4 3"
// then comes the index 8, 8/12 result 0 -> 0th symbol in symbol string = '1'
// remainder 8. then 8/3 = 2, now we need to scan the Bin and skip 2 unused bins
// current the bin looks 0 1 2 3 4
// x o o o o x -> in use; o -> free only 0 is being used
// s s ^ skipped 2 bins (bin 1 and 2), we get to bin 3
// and bin 3 is the bin needed. Thus symbol "4" is pick
// in 8/3, there is a remainder 2 comes in this function as 2/1 = 2, now we have to pick the empty slot
// for the new 2.
// the bin now looks 0 1 2 3 4
// x 0 0 x 0 as bin 3 was used by the last value
// s s ^ we skip 2 free bins and the next free bin is bin 4
// therefor the symbol "5" at the symbol array is pick.
//
// Thus, for index 8 "1 4 5" is the symbols.
//
//
private int FindFreeBin(int iIndex)
{
int j = iIndex;
if (j < 0 || j > this.iBinSize) return -1; // invalid index
for (int i = 0; i < this.iBinSize; i++)
{
if (this.eStatus[i] == 0) // is it used
{
// found an empty slot
if (j == 0) // this is a free one we want?
return i; // yes, found and return it.
else // we have to skip this one
j--; // else, keep looking and count the skipped one
}
}
assert(true); // something is wrong
return -1; // fail to find the bin we wanted
}
//
// this function is to help the PermDoReverse() to find out what is the corresponding
// value during should be added to the index value.
//
// it is doing the opposite of int FindFreeBin(int iIndex) method. You need to know how this
// FindFreeBin() works before looking into this function.
//
private int BinCountFree(int iIndex)
{
int iRetVal = 0;
for (int i = iIndex; i > 0; i--)
{
if (this.eStatus[i-1] == 0) // it is free
{
iRetVal++;
}
}
return iRetVal;
}
}
}
// End of file - Permutation.java
这是我的主类，用于展示如何使用该类。
/*
* copyright 2015 Fred Pang
*
* This is the main test program for testing the Permutation Class I created.
* It can be use to demonstrate how to use the Permutation Class and its methods to generate a complete
* list of a permutation. It also support function to get back the index value as pass in a permutation.
*
* As you can see my Java is not very good. :)
* This is my 1st Java project I created. As I am a C/C++ programmer for years.
*
* I still have problem with the Scanner class and the System class.
* Note that there is only very limited error checking
*
*
*/
import java.util.Scanner;
public class Main
{
private static Scanner scanner = new Scanner(System.in);
public static void main(String[] args)
{
Permutation perm; // declear the object
String sOutString = "";
int nCount;
int rCount;
int iMaxIndex;
// Get user input
System.out.println("Enter n: ");
nCount = scanner.nextInt();
System.out.println("Enter r: ");
rCount = scanner.nextInt();
System.out.println("Enter Symbol: ");
sOutString = scanner.next();
if (sOutString.length() < rCount)
{
System.out.println("String too short, default to numbers");
sOutString = "";
}
// create object with user requirement
perm = new Permutation(nCount, rCount, sOutString);
// and print the maximum count
iMaxIndex = perm.getiMaxIndex();
System.out.println("Max count is:" + iMaxIndex);
if (!sOutString.isEmpty())
{
for (int i = 0; i < iMaxIndex; i++)
{ // print out the return permutation symbol string
System.out.println(i + " " + perm.PermGetString(i));
}
}
else
{
for (int i = 0; i < iMaxIndex; i++)
{
System.out.print(i + " ->");
// Get the permutation array
int[] iTemp = perm.PermGetIntArray(i);
// print out the permutation
for (int j = 0; j < rCount; j++)
{
System.out.print(' ');
System.out.print(iTemp[j]);
}
// to verify my PermGetIndex() works. :)
if (perm.PermGetIndex(iTemp)== i)
{
System.out.println(" .");
}
else
{ // oops something is wrong :(
System.out.println(" ***************** F A I L E D *************************");
assert(true);
break;
}
}
}
}
}
//
// End of file - Main.java
玩得开心。 :)
您可以使用递归算法对排列进行编码。如果N置换（数字{0，...，N-1}的某些排序）具有{x，...}形式，则将其编码为x + N *（N-1）的编码 - 由数字{0，N-1} - {x}上的“...”表示的-permutation。听起来像是满口，这里有一些代码：
// perm[0]..perm[n-1] must contain the numbers in {0,..,n-1} in any order.
int permToNumber(int *perm, int n) {
// base case
if (n == 1) return 0;
// fix up perm[1]..perm[n-1] to be a permutation on {0,..,n-2}.
for (int i = 1; i < n; i++) {
if (perm[i] > perm[0]) perm[i]--;
}
// recursively compute
return perm[0] + n * permToNumber(perm + 1, n - 1);
}
// number must be >=0, < n!
void numberToPerm(int number, int *perm, int n) {
if (n == 1) {
perm[0] = 0;
return;
}
perm[0] = number % n;
numberToPerm(number / n, perm + 1, n - 1);
// fix up perm[1] .. perm[n-1]
for (int i = 1; i < n; i++) {
if (perm[i] >= perm[0]) perm[i]++;
}
}
该算法为O（n ^ 2）。如果任何人有O（n）算法，奖励积分。
多么有趣的问题！
如果所有元素都是数字，您可能需要考虑将它们从字符串转换为实际数字。然后，您可以通过按顺序排列所有排列，并将它们放在一个数组中。之后，您可以使用各种搜索算法。
我在前面的回答（删除）中很仓促，但我确实得到了实际答案。它由类似的概念factoradic提供，并且与排列有关（我的答案与组合有关，我为这种混乱道歉）。我讨厌发布维基百科链接，但我之前做过的写作由于某种原因是无法理解的。因此，如果需要，我可以稍后对此进行扩展。