如何在Python中高效地进行复杂状态依赖的动态规划？

Question

我正在开发一个涉及实现动态规划（DP）算法的Python项目，但状态依赖性并不简单。这是我的问题的简化版本：

我需要计算遍历二维网格的最小成本，其中每个单元格都有一个成本，但移动规则不寻常：

您可以向下、向右或向右斜下移动。 对角移动会产生额外的惩罚，具体取决于起始单元格和结束单元格的成本总和。 此外，移动到单元格中的成本可能取决于之前的移动是水平、垂直还是对角移动。 例如： 如果 grid[i][j] 是单元格 (i, j) 的成本，则从 (i-1, j-1)（对角线）到达 (i, j) 的成本将为：

dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + grid[i][j] + penalty_function(grid[i-1][j-1], grid[i][j])

但是从 (i-1, j)（垂直）来看，它只是：

dp[i][j] = dp[i-1][j] + grid[i][j]

我尝试了以下方法：

def min_cost(grid):
    rows, cols = len(grid), len(grid[0])
    dp = [[float('inf')] * cols for _ in range(rows)]
    dp[0][0] = grid[0][0]  # Starting point

    for i in range(1, rows):
        for j in range(1, cols):
            vertical = dp[i-1][j] + grid[i][j]
            horizontal = dp[i][j-1] + grid[i][j]
            diagonal = dp[i-1][j-1] + grid[i][j] + penalty_function(grid[i-1][j-1], grid[i][j])
            dp[i][j] = min(vertical, horizontal, diagonal)

    return dp[-1][-1]

但是，对于较大的网格来说，这会变得效率低下，因为惩罚函数本身的计算成本可能很高，并且当网格大小超过 1000x1000 时，解决方案无法很好地扩展。

有没有办法优化这种 DP 方法，可能是通过记忆或预先计算惩罚函数的部分？ 在这种情况下，切换到 NumPy 等库或使用并行处理会有帮助吗？ 是否有特定于 Python 的技巧（例如 @functools.lru_cache、生成器）可以用来提高性能，同时保持代码整洁和可读？

Answer 1

您不需要存储 dp 值的整个 2D 数组。您的算法只需要当前行和前一行。仅使用 2 行并不会改变计算复杂度，但实际上空间复杂度很高，更少的内存需求可能会带来性能提升。