线性回归的梯度下降未找到最佳参数

Question

我正在尝试实施梯度下降算法，以便在从Andrew Ng的课程中获取以下图像后，将直线拟合到噪声数据。

首先，我宣布我想要适合的嘈杂直线：

xrange =(-10:0.1:10); % data lenght
ydata  = 2*(xrange)+5; % data with gradient 2, intercept 5
plot(xrange,ydata); grid on;
noise  = (2*randn(1,length(xrange))); % generating noise 
target = ydata + noise; % adding noise to data
figure; scatter(xrange,target); grid on; hold on; % plot a sctter

然后我初始化两个参数，目标函数历史如下：

tita0 = 0 %intercept (randomised)
tita1 = 0 %gradient  (randomised)

% Initialize Objective Function History
J_history = zeros(num_iters, 1);

% Number of training examples
m = (length(xrange));

我继续编写梯度下降算法：

for iter = 1:num_iters

    h = tita0 + tita1.*xrange; % building the estimated 

    %c = (1/(2*length(xrange)))*sum((h-target).^2)

    temp0 = tita0 - alpha*((1/m)*sum((h-target)));
    temp1 = tita1 - alpha*((1/m)*sum((h-target))).*xrange;
    tita0 = temp0;
    tita1 = temp1;

    J_history(iter) = (1/(2*m))*sum((h-target).^2); % Calculating cost from data to estimate

end

最后但并非最不重要的是，情节。我正在使用MATLAB内置的polyfit函数来测试我的拟合的准确性。

% print theta to screen
fprintf('Theta found by gradient descent: %f %f\n',tita0,  tita1(end));
fprintf('Minimum of objective function is %f \n',J_history(num_iters));

%Plot the linear fit
hold on; % keep previous plot visibledesg
plot(xrange, tita0+xrange*tita1(end), '-'); title(sprintf('Cost is %g',J_history(num_iters))); % plotting line on scatter

% Validate with polyfit fnc
poly_theta = polyfit(xrange,ydata,1);
plot(xrange, poly_theta(1)*xrange+poly_theta(2), 'y--');
legend('Training data', 'Linear regression','Linear regression with polyfit')
hold off 

结果：

可以看出我的线性回归根本不能正常工作。似乎两个参数（y轴截距和梯度）都没有收敛到最优解。

任何关于我在实施中可能做错的建议都将不胜感激。我似乎无法理解我的解决方案偏离上面显示的等式。谢谢！

Answer 1

您对theta_1的实施不正确。 Andrew Ng的等式也是x的总和。你对theta_0和theta_1有什么

temp0 = tita0 - alpha*((1/m)*sum((h-target)));
temp1 = tita1 - alpha*((1/m)*sum((h-target))).*xrange;

请注意，sum（（h-target））出现在两个公式中。在总结之前，您需要首先乘以x。我不是MatLab程序员，所以我无法修复你的代码。

你在错误实现中所做的事情的大局是你正在推动截距和斜率的预测值在同一方向上，因为你的变化总是与总和成正比（（h-target））。这不是梯度下降的方式。

Answer 2

更改tita1的更新规则，如下所示：

temp1 = tita1 - alpha*((1/m)*sum((h-target).*xrange));

另外，另一个评论是你真的不需要临时变量。

通过设置

num_iters = 100000
alpha = 0.001

我可以恢复

octave:152> tita0
tita0 =  5.0824
octave:153> tita1
tita1 =  2.0085