如何在Python中与x^2进行（梯形）积分？

Question

我的任务是首先进行积分，然后与 Python 进行梯形积分 f(x)=x^2

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.arange(-10,10)   
y = x**2

l=plt.plot(x,y)
plt.show(l)

现在我想整合这个函数来得到这个：F(x)=(1/3)x^3与图片：

这应该是最后的输出：

有人可以解释一下如何用 python 得到 f(x)=x^2 的反导数 F(x) 吗？ 我想通过正常积分和梯形积分来做到这一点。对于从 (-10 到 10) 的梯形积分，步长大小为 0.01（梯形的宽度）。最后我想在这两种情况下得到函数 F(x)=(1/3)x^3 。我怎样才能达到这个目标？

谢谢你帮助我。

Answer 1

有两个关键观察结果：

• 梯形规则指的是数值积分，其输出不是积分函数而是一个数字
• 积分可达任意常数，该常数不包含在您的定义中

  F(x)

考虑到这一点，您可以使用

scipy.integrate.trapz()

来定义积分函数：

import numpy as np
from scipy.integrate import trapz


def numeric_integral(x, f, c=0):
    return np.array([sp.integrate.trapz(f(x[:i]), x[:i]) for i in range(len(x))]) + c

或者，更有效地使用

scipy.integrate.cumtrapz()

（从上面进行计算）：

import numpy as np
from scipy.integrate import cumtrapz


def numeric_integral(x, f, c=0):
    return cumtrapz(f(x), x, initial=c) 

绘制如下：

import matplotlib.pyplot as plt


def func(x):
    return x ** 2


x = np.arange(-10, 10, 0.01)
y = func(x)
Y = numeric_integral(x, func)

plt.plot(x, y, label='f(x) = x²')
plt.plot(x, Y, label='F(x) = x³/3 + c')
plt.plot(x, x ** 3 / 3, label='F(x) = x³/3')
plt.legend()

它为您提供所需的结果，但任意常数除外，您应该自己指定该常数。

为了更好地衡量，虽然与本例无关，但请注意，如果与分数步骤一起使用，

np.arange()

不会提供稳定的结果。通常，人们会使用

np.linspace()

来代替。

Answer 2

scipy 中的

cumtrapz

函数将使用梯形积分提供反导数：

from scipy.integrate import cumtrapz
yy = cumtrapz(y, x, initial=0)

# make yy==0 around x==0 (optional)
i_x0 = np.where(x >= 0)[0][0]
yy -= yy[i_x0]

Answer 3

梯形积分

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.arange(-10, 10, 0.1)
f = x**2

F = [-333.35]
for i in range(1, len(x) - 1):
    F.append((f[i] + f[i - 1])*(x[i] - x[i - 1])/2 + F[i - 1])
F = np.array(F)

fig, ax = plt.subplots()

ax.plot(x, f)
ax.plot(x[1:], F)

plt.show()

这里我应用了理论公式

(f[i] + f[i - 1])*(x[i] - x[i - 1])/2 + F[i - 1]

，而积分是在块中完成的：

F = [-333.35]
for i in range(1, len(x) - 1):
    F.append((f[i] + f[i - 1])*(x[i] - x[i - 1])/2 + F[i - 1])
F = np.array(F)

注意，为了绘制

x

和

F

，它们必须具有相同数量的元素；所以我忽略了

x

的第一个元素，所以它们都有

199

元素。这是 梯形方法 d 的结果：如果对

f

元素的数组

n

进行积分，您将获得

F

元素的数组

n-1

。此外，我将

F

的初始值设置为

-333.35

处的

x = -10

，这是积分过程中的任意常数，我决定该值是为了在原点附近传递函数。

---

分析整合

import sympy as sy
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = sy.symbols('x')
f = x**2
F = sy.integrate(f, x)

xv = np.arange(-10, 10, 0.1)
fv = sy.lambdify(x, f)(xv)
Fv = sy.lambdify(x, F)(xv)

fig, ax = plt.subplots()

ax.plot(xv, fv)
ax.plot(xv, Fv)

plt.show()

这里我通过

sympy

模块使用符号数学。集成是在块中完成的：

F = sy.integrate(f, x)

注意，在这种情况下，

F

和

x

已经具有相同数量的元素。而且，代码更简单。