在N场比赛中赢得前K场比赛的概率

Question

[在体育/竞赛中考虑“ 5项最佳”系列赛，第一个赢得3场比赛的球队将赢得系列赛。因此N = 5，K = 3。其中概率为w = p(team A winning game)和l = p(team A losing game)。假设这些概率在系列中没有改变。

[当我第一次想到这一点时，我错误地尝试添加赢得3 / 3、3 / 4和3/5游戏的概率：

wrong = function(w) {      
  p = dbinom(3,3,w) + dbinom(3,4,w) + dbinom(3,5,w)       
  return(p)
}

wrong(.9)
# 1.0935

显然，问题在于存在冗余，因为连续3场胜利，W-W-W使得任何游戏4和5的结果都过时了。即无法使用W-W-W-L-W和W-W-W-W-L。

除去冗余后，这些是可能的排列：

win = function(w) {
  l = 1-w
  p = w*w*w + 
    w*w*l*w + w*l*w*w + l*w*w*w + 
    l*l*w*w*w+ l*w*l*w*w+ l*w*w*l*w+  
    w*l*l*w*w+ w*l*w*l*w+
    w*w*l*l*w

  return(p)
}

win(.9)
# 0.99144

win(.9) + win(.1)
# 1

[手动输入排列序列会在较长的系列赛中很快失控，即赢得N = 7个游戏系列，9个游戏系列等。通常，如何修改wrong()函数以获得正确的概率？

Answer 1

您可以使用negative binomial distribution解决此问题。

如果X以NegBin（n，p）的形式分布，则X是玩家赢得n个游戏之前输掉的游戏数，如果赢得任何给定游戏的概率为p。

因此，dbinom(x = 2, size = 2, prob = 0.5)是玩家在赢得2场比赛之前总共输掉2场比赛的概率。

然后，pbinom(x = 2, size = 3, prob = 0.5)是玩家在赢得3场比赛之前输掉2个或更少的概率。这等于在5个系列中赢得3个的概率。