sin 和 cos 对于众所周知的角度给出了意想不到的结果

Question

当我将 180 度的角度传递给 C/C++ 的

cos()

和

sin()

函数时，我似乎收到了错误的值。我知道应该是：

• sin 为 0.0547
• cos 为 0.99

但是，我明白：

• 3.5897934739308216e-009 的罪
• cos 为 -1.00000

我的代码：

double radians = DegreesToRadians(angle);
double cosValue = cos(radians);
double sinValue = sin(radians);

DegreesToRadians()

：

double DegreesToRadians(double degrees)
{
    return degrees * PI / 180;
}

Answer 1

C/C++ 提供了

sin(a)

、

cos(a)

、

tan(a)

等函数，需要使用弧度 单位而不是度 的参数。

double DegreesToRadians(d)

执行的转换是 close，但转换结果是四舍五入的近似值。 另外，机器

M_PI

很接近，但与数学无理数

π

的值不同。

OP 的代码将

180

传递到

DegreesToRadians(d)

，然后传递到

sin()/cos()

，由于四舍五入、

double()

的有限精度以及可能的

PI

的弱值，给出的结果与预期不同。

改进是在调用 trig 函数之前以 Degrees 执行参数缩减。 下面首先将角度减小到-45°到45°范围，然后调用

sin()

。 这将确保

N

中的

sind(90.0*N) --> -1.0, 0.0, 1.0

值较大。 。 注意：

sind(360.0*N +/- 30.0)

可能不完全等于

+/-0.5

。需要一些额外的考虑。

#include <math.h>
#include <stdio.h>

static double d2r(double d) {
  return (d / 180.0) * ((double) M_PI);
}

double sind(double x) {
  if (!isfinite(x)) {
    return sin(x);
  }
  if (x < 0.0) {
    return -sind(-x);
  }
  int quo;
  double x90 = remquo(fabs(x), 90.0, &quo);
  switch (quo % 4) {
    case 0:
      // Use * 1.0 to avoid -0.0
      return sin(d2r(x90)* 1.0);
    case 1:
      return cos(d2r(x90));
    case 2:
      return sin(d2r(-x90) * 1.0);
    case 3:
      return -cos(d2r(x90));
  }
  return 0.0;
}

int main(void) {
  int i;
  for (i = -360; i <= 360; i += 15) {
    printf("sin()  of %.1f degrees is  % .*e\n", 1.0 * i, DBL_DECIMAL_DIG - 1,
        sin(d2r(i)));
    printf("sind() of %.1f degrees is  % .*e\n", 1.0 * i, DBL_DECIMAL_DIG - 1,
        sind(i));
  }
  return 0;
}

输出

sin()  of -360.0 degrees is   2.4492935982947064e-16
sind() of -360.0 degrees is  -0.0000000000000000e+00  // Exact

sin()  of -345.0 degrees is   2.5881904510252068e-01  // 76-68 = 8 away
//                            2.5881904510252076e-01
sind() of -345.0 degrees is   2.5881904510252074e-01  // 76-74 = 2 away

sin()  of -330.0 degrees is   5.0000000000000044e-01  // 44 away
//  0.5                       5.0000000000000000e-01
sind() of -330.0 degrees is   4.9999999999999994e-01  //  6 away

sin()  of -315.0 degrees is   7.0710678118654768e-01  // 68-52 = 16 away
// square root 0.5 -->        7.0710678118654752e-01
sind() of -315.0 degrees is   7.0710678118654746e-01  // 52-46 = 6 away

sin()  of -300.0 degrees is   8.6602540378443860e-01
sind() of -300.0 degrees is   8.6602540378443871e-01
sin()  of -285.0 degrees is   9.6592582628906842e-01
sind() of -285.0 degrees is   9.6592582628906831e-01
sin()  of -270.0 degrees is   1.0000000000000000e+00  // Exact
sind() of -270.0 degrees is   1.0000000000000000e+00  // Exact
...

Answer 2

首先，180度的余弦应该等于

-1

，所以你得到的结果是正确的。

其次，在使用 sin/cos/tan 等函数时，您有时无法获得

准确

值，因为您总是得到 最接近正确结果 的结果。在您的情况下，您从

sin

获得的值最接近于零。

您得到的

sin(PI)

的值仅在浮点后的第9（！）位与零不同。

3.5897934739308216e-009

几乎等于

0.000000004

并且几乎等于零。

Answer 3

将应用程序转换为 64 位时，我遇到了与 OP 相同的问题。
我的解决方案是使用新的 math.h 函数 __cospi() 和 __sinpi()。
性能与 cos() 和 sin() 类似（甚至快 1%）。

//    cos(M_PI * -90.0 / 180.0)   returns 0.00000000000000006123233995736766
//__cospi(       -90.0 / 180.0)   returns 0.0, as it should
// #define degree2rad 3.14159265359/180
// #define degree2rad M_PI/ 180.0
// double rot = -degree2rad * ang;
// double sn = sin(rot);
// double cs = cos(rot);

double rot = -ang / 180.0;
double sn = __sinpi(rot);
double cs = __cospi(rot);

来自 math.h：

/*  __sinpi(x) returns the sine of pi times x; __cospi(x) and __tanpi(x) return
the cosine and tangent, respectively.  These functions can produce a more
accurate answer than expressions of the form sin(M_PI * x) because they
avoid any loss of precision that results from rounding the result of the
multiplication M_PI * x.  They may also be significantly more efficient in
some cases because the argument reduction for these functions is easier
to compute.  Consult the man pages for edge case details.                 */