在 Sympy 中，有没有一种方法可以用定义多项式来表示 Groebner 基？

Question

在 Sympy 中，我们可以通过 Grobner 基获得多项式约简的表示：

from sympy import groebner, expand
from sympy.abc import x, y
f = 2*x**4 - x**2 + y**3 + y**2
G = groebner([x**3 - x, y**3 - y])
Q, r = G.reduce(f)

assert f == expand(sum(q*g for q, g in zip(Q, G)) + r)

但我正在寻找的是一种根据定义 Groebner 基的多项式来获取 Groebner 基的元素表达式的方法，本质上只是存储在生成基时使用的 Buchberger 算法中执行的计算。

例如

groebner([2*x+3*y+5, 3*x+5*y+2, 5*x+2*y+3])   # GroebnerBasis([1], x, y, domain='ZZ', order='lex')

它表明这三个多项式生成单位理想值，但我想要这些多项式的显式组合等于 1。在给出的示例中，它是线性组合，但我想要一种也适用于非线性的方法。

在第一个例子中我获得了

Q,r

。在第二个示例中，我获得了余数

r

的模拟，但我希望多项式

Q

实现它。

类似地，方法

G.contains()

将指示理想是否包含多项式，但它不会告诉您如何产生它。有没有办法也做到这一点？

Answer 1

代替

reduce

使用

reduced

:

from sympy import groebner, expand, reduced
from sympy.abc import x, y

f = 2*x**4 - x**2 + y**3 + y**2
G = groebner([x**3 - x, y**3 - y])

(q, r) = reduced(f, G)
print(q,r)
# Out:
# [2*x, 1] x**2 + y**2 + y

现在

q

是关于 G 的多项式标准形式的多项式系数列表，

r

是其余部分。

print(f"{[q[i]*G[i] for i in range(len(q)) if q[i]!=0]+[r]}")
display(f)
# Out:
# [2*x*(x**3 - x), y**3 - y, x**2 + y**2 + y]
# 2*x**4 - x**2 + y**3 + y**2

求和得到原始多项式：

display(sum([q[i]*G[i] for i in range(len(q))]+[r]))
# Out:
# x**2 + 2*x*(x**3 - x) + y**3 + y**2

检查：

f == expand(sum([q[i]*G[i] for i in range(len(q))]+[r]))
# Out:
# True

请注意，这适用于任何一组多项式，不一定是 Gröbner 基（带有相应的警告）。