我一直在研究 AVL 树及其平衡机制，特别是如何使用旋转来在插入或删除后保持平衡。据我所知，当节点的平衡因子变为−2或+2时，可能需要单次或双次旋转。
但是，我有一个关于删除操作期间双旋转的问题：
问题： 理论上AVL树中单个节点的删除是否需要两次双旋转才能恢复平衡？
以我的理解，不应该是这样的。下面，我将概述为什么只需一次双轮旋转就足够的理由。如果我不正确或遗漏了某些内容，我将不胜感激任何澄清或更正。
我的推理： AVL 树旋转的性质：
删除节点时，平衡操作仅影响从删除点到根的路径上被删除节点的祖先。 每次旋转（单次或双次）都会影响正在重新平衡的子树的局部高度并恢复该子树的平衡。 单一传播路径：
当删除节点时，不平衡性会沿着单一路径传播到根。 只有沿着这条路径遇到的第一个不平衡节点（我们称之为 Z）需要重新平衡。一旦 Z 重新平衡，以 Z 为根的子树的高度就会恢复，并且进一步的传播停止。
双旋转标准： 在以下情况下会触发双旋转： Z的平衡因子变为-2或+2。 Z的子节点有相反方向的平衡因子，需要两步调整（例如，左-右或右-左）。 在 Z 处进行双重旋转后，Z 子树的高度恢复，防止进一步不平衡传播到 Z 的祖先。
为什么多次双旋转是不必要的： 一次双旋转恢复了 Z 及其子树的平衡，阻止任何高度变化进一步向树上传播。 因此，删除单个节点不可能需要沿着重新平衡路径进行多次双旋转。 要求： 如果我的推理有缺陷或者存在边缘情况，在 AVL 树中删除单个节点时需要多次旋转，您能否提供解释或反例？
提前感谢您的见解！我非常感谢您的时间和专业知识。
我回顾了 AVL 树的重新平衡过程，并尝试通过其传播限制进行推理。我预计一次删除只会影响到根的路径上的一个不平衡节点，最多需要一次双旋转才能恢复平衡。这符合我对 AVL 树属性的理解，但我想确认这个逻辑是否普遍成立或者是否存在边缘情况。
是的，删除AVL树中的单个节点可能需要两次双旋转才能恢复平衡。
在你认为事实并非如此的推理中，你写道：
单次双旋转可恢复 Z 及其子树的平衡，阻止任何高度变化在树上进一步传播。
但这不是真的：高度变化不一定会阻止在树上进一步传播。节点 Z 处的双旋转减少 首先以 Z 为根的子树的高度（通过旋转被其孙节点替换）。这种降低的高度肯定会在祖先节点处带来不平衡，并且没有理由不需要双重旋转：它取决于不属于当前子树的子树。
这是导致两次双旋转的删除示例。我们从这个正确平衡的 AVL 树开始：
__4_
/ \
1 9
/ \ / \
0 3 7 10
/ / \ \
2 5 8 11
\
6
然后我们删除0：
__4_
/ \
1 9
\ / \
3 7 10
/ / \ \
2 5 8 11
\
6
节点 1 现在出现不平衡。由于它的右子节点是左重的，我们需要在节点 1 处进行双重旋转，从而生成这棵树：
__4_
/ \
2 9
/ \ / \
1 3 7 10
/ \ \
5 8 11
\
6
但是这种双重旋转在节点 4 处引入了不平衡。并且由于其右子节点是左重的，因此我们也需要在那里进行双重旋转：
__4_
/ \
2 9
/ \ / \
1 3 7 10
/ \ \
5 8 11
\
6
这会导致这个平衡树：
__7_
/ \
4 9
/ \ / \
2 5 8 10
/ \ \ \
1 3 6 11
因此这证明了——按照标准删除程序——我们可能需要应用不止一次双轮换。