重新组合 4 对数字

Question

我有一个关于我的个人项目的问题，这困扰了我。

目标是生成一组 8 个数字的所有合法组合，并分成 4 对。为了使组合被认为是合法的，每对的总和必须达到 6、5、4 或 3，而且每个数字都是正整数。含义 - 假设第一对数字之和为 6，则为 1:5、2:4、3:3、4:2 或 5:1；第二个（总和为 5）将为 1:4、2:3、3:2 或 4:1 等。这意味着在这种排列中有 5 * 4 * 3 * 2（或 5！） 的组合。我能够生成这 120 种组合（我希望是正确的），但这只是其中一种可能性。这些对可以对总和进行任意排列，因此可以有 24（或 4！）种方式对列对进行排列，从而给出 8 个数字的集合的总共 2880 种组合 - 这就是我想要的。

我无法找到有效且无需手动密集的解决方案。你们中有人能帮忙吗？您可以使用我为其创建的工作表： https://docs.google.com/spreadsheets/d/1jST8RJunGoMgA14CjHpjNG1rUwa0I6uGWIJzyS9FMY8/edit?usp=sharing

Answer 1

1. 生成总计值列表的对（在您的示例中为 6,5,4,3）。

以6为例，生成数字

1..5

生成数字

5..1

将它们组合起来得到

1|5
2|4

等等

然后对每个总计（示例中的 5,4 和 3）递归重复此操作，将它们与每个阶段的先前结果相结合。每个阶段。

公式为

=ArrayFormula(let(pairs,lambda(self,i,size,if(i>columns(size),"",tocol(sequence(index(size,i)-1)&"|"&index(size,i)-sequence(index(size,i)-1)&"|"&transpose(self(self,i+1,size))))),split(pairs(pairs,1,{3,4,5,6}),"|")))

2. 生成四个数字的排列

有多种方法，但对于小n来说最简单的方法是生成四个数字的所有可能组合（包括重复数字的组合）并过滤它们。

所得公式为：

=let(perms,makearray(256,4,lambda(r,c,mod(quotient(r,4^(4-c)),4)+3)),filter(perms,byrow(perms,lambda(r,countunique(r)))=4))

3. 结合两个公式：

对每个排列的结果进行 Vstack，如下所示：

=ArrayFormula(let(perms,makearray(256,4,lambda(r,c,mod(quotient(r,4^(4-c)),4)+3)),fperms,filter(perms,byrow(perms,lambda(r,countunique(r)))=4),
pairs,lambda(self,i,size,if(i>columns(size),"",tocol(sequence(index(size,i)-1)&"|"&index(size,i)-sequence(index(size,i)-1)&"|"&transpose(self(self,i+1,size))))),
reduce({"","","","","","","",""},sequence(rows(fperms)),lambda(a,c,vstack(a,split(pairs(pairs,1,index(fperms,c,0)),"|"))))))