求解符号函数的零空间

Question

我有符号函数（例如

x^2

、

x+1

等）并尝试找到等于零的线性组合。

我用

Symbolic.jl

写了一个 Julia 程序。在文档中，它说大多数 Julia 方法都使用表达式，但是，我的程序：

using Symbolics, LinearAlgebra
@variables n
p1 = :(n + 1)
p2 = :(n + 3)
p3 = :(n + 2)
A = [p1 p2 p3]
nullspace_A = nullspace(A)
println(nullspace_A)

抛出错误：

ERROR: LoadError: MethodError: no method matching one(::Type{Expr})

我猜

nullspace

中的

LinearAlgebra

不支持符号表达式。有方法吗？是否有更合适的模块或编程语言？效率是关键，真实示例将包含更复杂的函数，如阶乘/伽玛函数。

Answer 1

我确实找到了一些解决问题的方法......

Python-同情

Python 具有

sympy

模块，允许求解多个变量的符号方程。我设法找到了

{(x - 1)!, x * (x - 2)!, (x - 2)!}

甚至

{gamma(x - 1), gamma(x - 2), x * gamma(x - 2)}

的零空间。代码很简单：

>>>from sympy import solve, factorial
>>>from sympy.abc import a, b, c, x
>>>eq = a * factorial(x - 1) + b * x * factorial(x - 2) + c * factorial(x - 2)
>>>print(solve(eq, a, b, c, set=True))
([a, b, c], {((-b*x + b - c)/x, b, c)})
>>>eq = -b * x + b - c - a * x
>>>print(solve(eq, a, b, c, set=True))
([a, b], {(-c, c)})

然而，一旦事情变得更加复杂，

sympy

就失败了。例如

{upper_gamma(x, -1), upper_gamma(x - 1, -1), x * upper_gamma(x - 1, -1), (-1) ^ x}

或

{(x - 1) * upper_gamma(x - 1, -1) + (-1) ^ (x - 1), upper_gamma(x - 1, -1), x * upper_gamma(x - 1, -1), (-1) ^ x}

甚至

{(x - 1) * y, z, y, x * y, -z}

（虽然，我没有 100% 排除用户错误）

数学

Mathematica 是 wolfram-alpha 使用的语言。它可能是最强大的 CAS 之一，但是它不是免费使用的

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还有一些其他选项，比如

Matlab

。如果我发现更多，我会更新这个答案。